Numero complesso in forma trigonometrica

Il convertitore da numero complesso a forma trigonometrica prende la parte reale a e la parte immaginaria b di un numero complesso e restituisce la sua descrizione polare: il modulo r, cioè la distanza dall'origine al punto (a, b) nel piano complesso, e l'argomento θ, l'angolo che il punto forma con il semiasse reale positivo. Lei riceve l'argomento in radianti e in gradi, oltre a un'espressione trigonometrica pronta da copiare: r(cos(θ) + i sin(θ)). È esattamente lo stesso calcolo che si fa a mano in un corso di matematica, eseguito in modo deterministico in una sola chiamata, senza deriva di arrotondamento tra macchine e senza trucchi di approssimazione: solo l'ipotenusa per il modulo e l'arcotangente a due argomenti per l'angolo.

Dalla forma algebrica alla forma trigonometrica

Un numero complesso scritto come a + bi è in forma algebrica: individua un punto nel piano percorrendo a unità lungo l'asse reale e b unità lungo l'asse immaginario. La forma trigonometrica descrive lo stesso punto come farebbe un navigatore — per distanza e direzione. La distanza è il modulo, calcolato come la radice quadrata di a al quadrato più b al quadrato, e la direzione è l'argomento, l'angolo misurato in senso antiorario dal semiasse reale positivo.

Sviluppato, il numero diventa r moltiplicato per il coseno dell'angolo più i volte il seno dell'angolo. Il numero non cambia affatto; cambia solo la sua descrizione. Ed è proprio questo cambio di descrizione a rendere semplici moltiplicazione, divisione, potenze e radici dei numeri complessi, perché in linguaggio polare queste operazioni si riducono a moltiplicare i moduli e sommare gli angoli.

Come vengono calcolati modulo e argomento

Il modulo è calcolato con l'algoritmo dell'ipotenusa anziché con l'ingenua radice quadrata della somma dei quadrati, il che conta per componenti molto grandi o molto piccole: la formula ingenua può andare in overflow verso l'infinito o annullarsi a zero anche quando la risposta vera è un numero del tutto ordinario. L'argomento è calcolato con l'arcotangente a due argomenti, non con una semplice arcotangente di b fratto a.

È questa distinzione a collocare l'angolo nel quadrante corretto: uno più i e meno uno meno i hanno lo stesso rapporto b fratto a, ma puntano in direzioni opposte, e solo la versione a due argomenti sa distinguerli. Il risultato è il valore principale dell'argomento, compreso nell'intervallo semiaperto da meno pi greco a pi greco, restituito in radianti e convertito in gradi. Entrambi gli input devono essere numeri finiti; una stringa non interpretabile, un infinito o un NaN vengono rifiutati come input non valido invece di essere convertiti silenziosamente.

Dove la conversione dà il meglio di sé

La forma trigonometrica è la rappresentazione di lavoro ovunque i numeri complessi vengano moltiplicati ripetutamente. Gli ingegneri elettrici la usano per combinare impedenze e sfasamenti nell'analisi dei circuiti in corrente alternata, dove il modulo è un'ampiezza e l'argomento un angolo di fase. Il codice di elaborazione dei segnali la usa per leggere ampiezza e fase di un bin di frequenza prodotto da una trasformata di Fourier.

Gli studenti la usano per applicare il teorema di De Moivre, che eleva un numero complesso a potenza elevando il modulo e moltiplicando l'angolo — quasi impossibile in forma algebrica, quasi banale in forma polare.