Forma polare di un complesso
Scriva un numero complesso per grandezza e direzione: 3 + 4i ha modulo 5 e argomento di circa 53,13°, quindi diventa 5∠53,13°. Ottiene anche la forma con coseno e seno. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Parte reale
- 3
- Parte immaginaria
- 4
- Modulo
- 5
- Argomento (gradi)
- 53,1301023542
- Argomento (rad)
- 0,927295218
- Forma rettangolare
- 3+4i
I numeri complessi in forma rettangolare a più b i sono naturali per sommare e per leggere le parti reale e immaginaria, ma moltiplicazione, divisione, potenze e radici sono quasi sempre più semplici quando lo stesso numero è scritto in forma polare o trigonometrica. Questa calcolatrice da forma rettangolare a polare per numeri complessi accetta la parte reale a e la parte immaginaria b, calcola il modulo r come lunghezza euclidea del vettore dall'origine al punto (a, b), e ottiene l'argomento principale con un arctangente a due argomenti così ogni quadrante è corretto. La risposta restituisce l'argomento in gradi e in radianti, oltre a stringhe di visualizzazione polare e trigonometrica pronte da copiare: r angolo theta gradi e r per coseno di theta più i seno di theta.
Forma rettangolare, polare e trigonometrica di un numero complesso
Qualsiasi numero complesso z uguale a a più b i si identifica con il punto (a, b) nel piano complesso. La forma rettangolare nomina direttamente le coordinate orizzontale e verticale: a è la parte reale e b quella immaginaria. La forma polare nomina lo stesso punto per distanza dall'origine e direzione rispetto all'asse reale positivo.
La distanza è il modulo r, uguale alla radice quadrata di a al quadrato più b al quadrato, scritto |z|. La direzione è l'argomento theta uguale ad arg di z, preso per convenzione nell'intervallo principale da meno centottanta a più centottanta gradi, o da meno pi a pi in radianti. Con r e theta noti, z può scriversi come r all'angolo theta, o in forma trigonometrica come r per coseno di theta più i seno di theta.
Queste identità fondano il teorema di De Moivre, convertono i prodotti in prodotti di moduli e somme di argomenti, e permettono di trovare radici come raggi equispaziati su una circonferenza. Chi espande le potenze solo con il binomio su a più b i spesso commette errori di algebra che spariscono dopo una conversione rettangolare-polare corretta.
Quando la forma polare semplifica il lavoro
Le aule di algebra e precalcolo usano una calcolatrice da forma rettangolare a polare per numeri complessi affinché gli studenti controllino modulo e argomento per a e b arbitrari senza confondere i quadranti né la modalità gradi rispetto ai radianti di una calcolatrice tascabile. I generatori di esami e i plugin LMS necessitano di un oracolo deterministico che segni l'origine come caso speciale noto invece di andare in crash o inventare un angolo casuale. La validazione fallita non consuma il saldo.
Mantenga le richieste piccole, fissi nei test modulo e argomento arrotondati, e otterrà forme polare e trigonometrica riproducibili per compiti, valutazione e worker di edge senza erigere infrastruttura propria di matematica simbolica.
Casi d'uso
Aula e controllo dei compiti
Consenta agli studenti di inviare real e imag per z = a+bi e di verificare modulo, argomento principale in gradi e stringa della forma trigonometrica rispetto ai metodi del libro.
Fasori e notebook di ingegneria
Converta fasori rettangolari a+bi in magnitudine e fase polari prima di prodotti e quozienti senza importare una libreria completa di algebra computazionale.
Domande frequenti
Come si converte un numero complesso da forma rettangolare a polare?
Invii i numeri finiti real (a) e imag (b) per z = a+bi.
Quale quadrante usa l'argomento?
L'arctangente a due argomenti atan2(imag, real) colloca θ nel quadrante corretto su (−180°, 180°] (o (−π, π] in radianti), inclusi gli assi.
Qual è la forma polare di 3 + 4i?
Il modulo è 5, la radice quadrata di 3² + 4², e l’argomento è di circa 53,13°, misurato dall’asse reale positivo. Quindi 3 + 4i si scrive 5∠53,13° in forma polare.
Cosa succede con il numero complesso 0 + 0i?
Il modulo è 0 e l’argomento viene fissato a 0° per convenzione, perché nell’origine non c’è una direzione definita. Il risultato è segnalato chiaramente come origine, così sa che quell’angolo non ha significato.
Perché la forma polare semplifica la moltiplicazione dei complessi?
In forma polare si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti, invece di sviluppare parentesi. Potenze e radici diventano altrettanto semplici, che è l’idea alla base del teorema di De Moivre.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imag":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imag": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imag":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"real": 3,
"imag": 4
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.rectangular_to_polar_complex",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
L'origine zero più zero i è trattata come caso speciale: modulo zero e argomento zero gradi per convenzione, con il flag is_origin affinché i client non trattino un angolo indefinito come un fallimento silenzioso.
Forma rettangolare, polare e trigonometrica di un numero complesso
Questo endpoint esegue solo quella conversione: non eleva z a una potenza e non risolve equazioni; restituisce modulo, argomento e le due stringhe standard affinché il calcolo successivo parta da una rappresentazione polare verificata.
Contratto di ingresso, caso dell'origine e campi di risposta
Esempio: real uguale a tre e imag uguale a quattro produce modulo cinque e argomento circa cinquantatre virgola tredici gradi, perché tre-quattro-cinque è il classico triangolo rettangolo del primo quadrante. Esempio: real uguale a meno uno e imag uguale a zero produce modulo uno e argomento centottanta gradi, sempre sull'asse reale negativo. Invii un corpo JSON con due numeri finiti obbligatori: real, la parte reale a di z uguale a a più b i, e imag, la parte immaginaria b. Ogni campo può arrivare come numero JSON o come stringa numerica; campi assenti, stringhe vuote e valori non finiti falliscono con invalid_input nominando il campo, e tali fallimenti non sono addebitati. In caso di successo il corpo ripete real e imag arrotondati per una visualizzazione stabile, riporta il modulo come numero non negativo, riporta argument_deg e argument_rad per l'argomento principale, e imposta is_origin a false per ogni z non nullo. La stringa rettangolare riscrive a più b i per display didattici; polar_form usa la notazione angolare r angolo theta gradi; trigonometric_form scrive r parentesi cos di theta gradi più i sin di theta gradi. L'origine zero più zero i è il caso speciale documentato: il modulo è zero, argument_deg e argument_rad sono zero per convenzione perché arg di zero è altrimenti indefinito, is_origin è true, e entrambe le stringhe polare e trigonometrica sono semplicemente zero. Abbini la risposta al proprio codice di diagramma se serve uno schizzo del raggio; questo endpoint restituisce solo numeri e stringhe.
Dove un'API di forma polare complessa conviene
I notebook di ingegneria elettrica convertono i fasori da impedenza rettangolare a magnitudine e fase polari prima di moltiplicare reti in serie e parallelo; chiamare una piccola API di parse evita di trascinare un intero sistema di algebra computazionale per due coefficienti. Poiché l'implementazione è parse di livello A puro, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello e senza rete in uscita.
Casi di integrazione
Esami e correzione automatica LMS
Valuti le voci da rettangolare a polare con un oracolo deterministico che tratta l'origine come r=0 e θ≡0° e non inventa mai un angolo per input non finiti.
Domande tecniche
Cosa succede all'origine 0+0i?
L'origine è un caso speciale: il modulo è 0, argument_deg e argument_rad sono 0 per convenzione, is_origin è true, e le forme polare/trigonometrica sono la stringa "0". Arg(0) è altrimenti indefinito.
L'argomento è restituito in gradi o in radianti?
In entrambi. argument_deg è l'argomento principale in gradi; argument_rad è lo stesso angolo in radianti da atan2(imag, real).
Quanto costa la calcolatrice da rettangolare a polare per complessi?
Lo strumento nel browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l'input non valido non viene addebitato.