Forma polar de un complejo
Exprese un número complejo por su tamaño y su dirección: 3 + 4i tiene módulo 5 y argumento de unos 53,13°, así que se escribe 5∠53,13°. También obtiene la forma con coseno y seno. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Parte real
- 3
- Parte imaginaria
- 4
- Módulo
- 5
- Argumento (grados)
- 53,1301023542
- Argumento (rad)
- 0,927295218
- Forma rectangular
- 3+4i
Los números complejos en forma rectangular a más b i resultan naturales para sumar y para leer las partes real e imaginaria, pero la multiplicación, la división, las potencias y las raíces casi siempre son más simples cuando el mismo número se escribe en forma polar o trigonométrica. Esta calculadora de forma rectangular a polar de números complejos acepta la parte real a y la parte imaginaria b, calcula el módulo r como la longitud euclídea del vector desde el origen hasta el punto (a, b), y obtiene el argumento principal con un arctangente de dos argumentos para que cada cuadrante sea correcto. La respuesta devuelve el argumento en grados y en radianes, además de cadenas de visualización polar y trigonométrica listas para copiar: r ángulo theta grados y r por coseno de theta más i seno de theta.
Forma rectangular, polar y trigonométrica de un número complejo
Cualquier número complejo z igual a a más b i se identifica con el punto (a, b) en el plano complejo. La forma rectangular nombra directamente las coordenadas horizontal y vertical: a es la parte real y b la imaginaria. La forma polar nombra el mismo punto por distancia al origen y dirección respecto al eje real positivo.
La distancia es el módulo r, igual a la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado, escrito |z|. La dirección es el argumento theta igual a arg de z, tomado por convención en el intervalo principal de menos ciento ochenta a más ciento ochenta grados, o de menos pi a pi en radianes. Con r y theta conocidos, z puede escribirse como r en ángulo theta, o en forma trigonométrica como r por coseno de theta más i seno de theta.
Esas identidades fundamentan el teorema de De Moivre, convierten productos en productos de módulos y sumas de argumentos, y permiten hallar raíces como rayos equiespaciados en un círculo. Quien solo expande potencias con el binomio sobre a más b i suele cometer errores de álgebra que desaparecen tras una conversión rectangular a polar correcta.
Cuándo la forma polar simplifica el trabajo
Las aulas de álgebra y precálculo usan una calculadora de forma rectangular a polar de números complejos para que el alumnado compruebe módulo y argumento de a y b arbitrarios sin confundir cuadrantes ni el modo grados frente a radianes de una calculadora de mano. Los generadores de exámenes y los plugins de LMS necesitan un oráculo determinista que marque el origen como caso especial conocido en lugar de fallar o inventar un ángulo aleatorio. La validación fallida no consume saldo.
Mantenga las peticiones pequeñas, fije en las pruebas el módulo y el argumento redondeados, y obtendrá formas polar y trigonométrica reproducibles para deberes, calificación y workers de borde sin montar su propia infraestructura de matemáticas simbólicas.
Qué puede hacer con ella
Aula y comprobación de deberes
Permita que el alumnado envíe real e imag de z = a+bi y verifique el módulo, el argumento principal en grados y la cadena de forma trigonométrica frente a los métodos del libro.
Fasores y cuadernos de ingeniería
Convierta fasores rectangulares a+bi a magnitud y fase polar antes de productos y cocientes sin importar una biblioteca completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Cómo convierto un número complejo de forma rectangular a polar?
Envíe números finitos real (a) e imag (b) para z = a+bi.
¿Qué cuadrante usa el argumento?
El arctangente de dos argumentos atan2(imag, real) sitúa θ en el cuadrante correcto sobre (−180°, 180°] (o (−π, π] en radianes), incluidos los ejes.
¿Cuál es la forma polar de 3 + 4i?
Su módulo es 5, la raíz cuadrada de 3² + 4², y su argumento es de unos 53,13°, medido desde el eje real positivo. Por tanto, 3 + 4i se escribe 5∠53,13° en forma polar.
¿Qué ocurre con el número complejo 0 + 0i?
Su módulo es 0 y su argumento se fija en 0° por convención, porque en el origen no hay dirección definida. El resultado se marca claramente como origen, para que sepa que ese ángulo no significa nada.
¿Por qué la forma polar facilita multiplicar números complejos?
En forma polar se multiplican los módulos y se suman los argumentos, en lugar de desarrollar paréntesis. Las potencias y las raíces se vuelven igual de sencillas, que es la idea del teorema de De Moivre.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":3,"imag":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 3,
"imag": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 3,
"imag": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":3,"imag":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":3,"imag":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/rectangular-to-polar-complex", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"real": 3,
"imag": 4
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.rectangular_to_polar_complex",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
El origen cero más cero i se trata como caso especial: módulo cero y argumento cero grados por convención, con el indicador is_origin para que los clientes no traten un ángulo indefinido como un fallo silencioso.
Forma rectangular, polar y trigonométrica de un número complejo
Este endpoint realiza solo esa conversión: no eleva z a una potencia ni resuelve ecuaciones; devuelve módulo, argumento y las dos cadenas estándar para que el siguiente cálculo parta de una representación polar verificada.
Contrato de entrada, caso del origen y campos de respuesta
Ejemplo: real igual a tres e imag igual a cuatro da módulo cinco y argumento de unos cincuenta y tres coma trece grados, porque tres-cuatro-cinco es el triángulo rectángulo clásico del primer cuadrante. Ejemplo: real igual a menos uno e imag igual a cero da módulo uno y argumento ciento ochenta grados, siempre sobre el eje real negativo. Envíe un cuerpo JSON con dos números finitos obligatorios: real, la parte real a de z igual a a más b i, e imag, la parte imaginaria b. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; campos ausentes, cadenas vacías y valores no finitos fallan con invalid_input nombrando el campo, y esos fallos no se facturan. En éxito el cuerpo repite real e imag redondeados para una visualización estable, informa el módulo como número no negativo, informa argument_deg y argument_rad del argumento principal, y pone is_origin en false para todo z no nulo. La cadena rectangular reescribe a más b i para pantallas didácticas; polar_form usa la notación angular r ángulo theta grados; trigonometric_form escribe r paréntesis cos de theta grados más i sin de theta grados. El origen cero más cero i es el caso especial documentado: el módulo es cero, argument_deg y argument_rad son cero por convención porque arg de cero no está definido de otro modo, is_origin es true, y ambas cadenas polar y trigonométrica son simplemente cero. Combine la respuesta con su propio código de diagrama si necesita un croquis del rayo; este endpoint solo devuelve números y cadenas.
Dónde aporta valor una API de forma polar compleja
Los cuadernos de ingeniería eléctrica convierten fasores de impedancia rectangular a magnitud y fase polar antes de multiplicar redes en serie y paralelo; llamar a una pequeña API de parse evita arrastrar un sistema completo de álgebra computacional por dos coeficientes. Como la implementación es parse de nivel A puro, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo ni red de salida.
Casos de integración
Exámenes y calificación automática LMS
Corrija ítems de rectangular a polar con un oráculo determinista que trata el origen como r=0 y θ≡0° y nunca inventa un ángulo para entradas no finitas.
Preguntas técnicas
¿Qué ocurre en el origen 0+0i?
El origen es un caso especial: el módulo es 0, argument_deg y argument_rad son 0 por convención, is_origin es true, y las formas polar/trigonométrica son la cadena "0". Arg(0) no está definido de otro modo.
¿El argumento se devuelve en grados o en radianes?
En ambos. argument_deg es el argumento principal en grados; argument_rad es el mismo ángulo en radianes a partir de atan2(imag, real).
¿Cuánto cuesta la calculadora de forma rectangular a polar compleja?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.