Conversor de número complejo a forma polar: magnitud y ángulo
Describa un número complejo por distancia y dirección en lugar de coordenadas: 3 + 4i tiene magnitud 5, y 2i apunta hacia arriba a 90°, con el ángulo también en radianes. Por debajo del eje real, el ángulo sale negativo. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Parte real
- 1
- Parte imaginaria
- 1
- Magnitud
- 1,4142135624
- Ángulo (rad)
- 0,7853981634
- Ángulo (grados)
- 45
El conversor de número complejo a forma polar toma un número complejo dado por su parte real y su parte imaginaria y devuelve su forma polar: la magnitud, que es la distancia al origen en el plano complejo, y el ángulo (o argumento) medido en sentido antihorario desde el eje real positivo, expresado tanto en radianes como en grados. El ángulo se calcula con la arcotangente de dos argumentos, de modo que siempre cae en el cuadrante correcto, y una parte imaginaria negativa produce un ángulo negativo. Ambas partes deben ser números finitos; cualquier otro valor se rechaza con un error de validación claro.
De a + bi a magnitud y ángulo
Un número complejo escrito como a + bi sitúa un punto en el plano complejo: la parte real a mide cuánto se desplaza sobre el eje horizontal y la parte imaginaria b cuánto sube o baja. La forma polar describe ese mismo número mediante una distancia y una dirección. La distancia es la magnitud, a menudo escrita r o |z|, calculada como la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por las dos partes, de modo que 3 + 4i tiene magnitud exactamente 5.
La dirección es el ángulo, a menudo escrito theta o arg(z), medido en sentido antihorario desde el eje real positivo, de modo que un número puramente imaginario como 2i se sitúa en pi/2 radianes, es decir, 90 grados.
Enviar las dos partes a este conversor de número complejo a forma polar devuelve la magnitud y el ángulo en una sola llamada, y con ellos puede escribir el número como r(cos theta + i sin theta) o, de forma compacta, como r por e elevado a i theta, la forma que simplifica la multiplicación, la división, las potencias y las raíces de números complejos.
Como la magnitud procede de un cálculo de hipotenusa y no de una raíz cuadrada ingenua de la suma de cuadrados, el resultado evita desbordamientos incluso cuando las partes son números finitos muy grandes.
Por qué el ángulo usa atan2 y llega en dos unidades
Una arcotangente simple de la parte imaginaria dividida entre la parte real no puede distinguir un número del primer cuadrante de uno del tercero, porque el cociente es idéntico, y falla por completo cuando la parte real es cero. La arcotangente de dos argumentos, atan2, examina los signos de ambas partes, de modo que el ángulo siempre apunta al cuadrante correcto y está definido para toda entrada salvo el cero exacto.
El resultado se encuentra en el intervalo de pi negativo a pi positivo en radianes: los ángulos positivos indican que el número está por encima del eje real, los negativos que está por debajo, pi exacto indica el eje real negativo y cero el eje real positivo.
Este conversor informa el ángulo dos veces, en radianes y en grados, porque distintos consumidores prefieren distintas unidades: los radianes alimentan directamente las funciones trigonométricas y exponenciales de todo lenguaje de programación y la fórmula de Euler, mientras que los grados son lo que la mayoría lee en tareas, libros de texto y especificaciones de ingeniería.
Calcular ambos en una llamada le ahorra un paso de conversión y una ambigüedad de redondeo, y ambos valores se redondean a doce decimales para que los resultados sean idénticos byte a byte entre máquinas y motores de JavaScript.
Validación, determinismo y dónde encaja
Cada parte debe ser un número finito. El número complejo cero es un caso especial deliberado: su magnitud es cero y su ángulo está matemáticamente indefinido, así que el conversor devuelve un ángulo de cero en ambas unidades por convención en lugar de fallar, lo que mantiene los pipelines totales y predecibles mientras documenta la decisión.
El cálculo consiste en unas pocas operaciones de coma flotante sin acceso a la red, sin aleatoriedad y sin reloj, de modo que la misma entrada siempre produce una salida idéntica byte a byte, propiedad que los ejemplos de referencia publicados verifican en cada cambio.
Entre los usuarios habituales están las herramientas de ingeniería eléctrica que convierten impedancias entre forma rectangular y fasorial, el código de procesamiento de señales que alterna entre representaciones cartesianas y de magnitud-fase, los sistemas de control que analizan la respuesta en frecuencia y los estudiantes que revisan tareas de aritmética compleja.
Qué puede hacer con ella
Ingeniería eléctrica y fasores
Convierta una impedancia dada como resistencia más reactancia (R + jX) en magnitud y ángulo de fase en grados para el análisis de circuitos de CA.
Procesamiento de señales
Lleve un bin complejo de la FFT o un coeficiente de filtro de forma real/imaginaria a magnitud y fase en radianes para el análisis espectral.
Tareas y enseñanza de matemáticas
Compruebe la forma polar de un número complejo antes de aplicar el teorema de De Moivre para potencias y raíces, con el ángulo mostrado en ambas unidades.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto cuesta?
La misma conversión es gratis en su navegador en esta página.
¿Qué se devuelve exactamente?
La magnitud (distancia al origen), el ángulo en radianes en (-pi, pi], el mismo ángulo en grados en (-180, 180], y las partes real e imaginaria devueltas tal cual.
¿Por qué radianes y grados?
Los radianes alimentan directamente las funciones trigonométricas, las exponenciales y la fórmula de Euler; los grados son lo que la mayoría lee en libros de texto y documentos de ingeniería. Una sola llamada devuelve ambos, sin paso de conversión por su parte.
¿Qué ocurre con 0 + 0i?
La magnitud es 0 y el ángulo está matemáticamente indefinido, así que el conversor devuelve un ángulo de 0 en ambas unidades por convención en lugar de fallar.
¿Qué entradas se rechazan?
Todo lo que no sea un número finito: campos ausentes, null, booleanos, arrays, cadenas vacías o no numéricas, NaN e Infinity. Las cadenas numéricas como "3.5" se aceptan.
¿El ángulo siempre cae en el cuadrante correcto?
Sí. Se calcula con la arcotangente de dos argumentos atan2(imag, real), que usa los signos de ambas partes para situar el ángulo en el cuadrante adecuado.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":1,"imag":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form", {
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"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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"real": 1,
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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"imag": 1
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
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],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"real": 1,
"imag": 1
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.complex_number_to_polar_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La misma conversión se ejecuta gratis en su navegador en esta página, y el código idéntico sirve la API de pago a $0.002 por petición.
Validación, determinismo y dónde encaja
El endpoint acepta números JSON y cadenas numéricas como "3.5" o "-2", lo cual resulta cómodo cuando los valores llegan como campos de formularios web, pero rechaza nulos, cadenas vacías, booleanos, arrays, el texto NaN y todo valor infinito, respondiendo con un error de entrada no válida que nombra el campo problemático en lugar de producir en silencio un ángulo sin sentido. Se ejecuta en el edge en milisegundos, no conserva nada tras la respuesta y cuesta $0.002 por petición a través de la API, además de ser gratis de forma interactiva en el navegador.