Conversor de Número Complexo para Forma Polar | ForHosting
Descreva um número complexo por distância e direção em vez de coordenadas: 3 + 4i tem magnitude 5, e 2i aponta para cima a 90°, com o ângulo também em radianos. Abaixo do eixo real, o ângulo sai negativo. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Parte real
- 1
- Parte imaginária
- 1
- Magnitude
- 1,4142135624
- Ângulo (rad)
- 0,7853981634
- Ângulo (graus)
- 45
O conversor de número complexo para forma polar recebe um número complexo dado por sua parte real e sua parte imaginária e devolve a forma polar: o módulo, que é a distância até a origem no plano complexo, e o ângulo (ou argumento) medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo, informado em radianos e em graus. O ângulo é calculado com a arco-tangente de dois argumentos, portanto sempre cai no quadrante correto, e uma parte imaginária negativa produz um ângulo negativo. As duas partes devem ser números finitos; qualquer outro valor é rejeitado com um erro de validação claro.
De a + bi para módulo e ângulo
Um número complexo escrito como a + bi localiza um ponto no plano complexo: a parte real a mede o quanto ele avança sobre o eixo horizontal, e a parte imaginária b o quanto sobe ou desce. A forma polar descreve o mesmo número por uma distância e uma direção. A distância é o módulo, muitas vezes escrito r ou |z|, calculado como a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas duas partes, de modo que 3 + 4i tem módulo exatamente 5.
A direção é o ângulo, muitas vezes escrito theta ou arg(z), medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo, de modo que um número puramente imaginário como 2i fica em pi/2 radianos, ou seja, 90 graus.
Enviar as duas partes a este conversor de número complexo para forma polar devolve o módulo e o ângulo em uma única chamada e, com eles em mãos, você pode escrever o número como r(cos theta + i sin theta) ou, de forma compacta, como r vezes e elevado a i theta, que é a forma que torna simples a multiplicação, a divisão, as potências e as raízes de números complexos.
Como o módulo vem de um cálculo de hipotenusa, e não de uma raiz quadrada ingênua da soma dos quadrados, o resultado evita overflow mesmo quando as partes são números finitos muito grandes.
Por que o ângulo usa atan2 e vem em duas unidades
Uma arco-tangente simples da parte imaginária dividida pela parte real não consegue distinguir um número no primeiro quadrante de um no terceiro, pois a razão é idêntica, e quebra por completo quando a parte real é zero. A arco-tangente de dois argumentos, atan2, inspeciona os sinais das duas partes, de modo que o ângulo sempre aponta para o quadrante correto e está definido para toda entrada, exceto o zero exato.
O resultado fica no intervalo de menos pi a pi radianos: ângulos positivos significam que o número está acima do eixo real, ângulos negativos significam abaixo, exatamente pi significa o eixo real negativo, e zero significa o eixo real positivo.
Este conversor informa o ângulo duas vezes, em radianos e em graus, porque consumidores diferentes querem unidades diferentes: os radianos alimentam diretamente as funções trigonométricas e exponenciais de toda linguagem de programação e a fórmula de Euler, enquanto os graus são o que a maioria das pessoas lê nas lições de casa, nos livros didáticos e nas especificações de engenharia.
Calcular ambos em uma chamada poupa uma etapa de conversão e uma ambiguidade de arredondamento, e os dois valores são arredondados para doze casas decimais, de modo que os resultados se comparam byte a byte entre máquinas e motores JavaScript.
Validação, determinismo e onde ele se encaixa
Cada parte deve ser um número finito. O número complexo zero é um caso especial deliberado: seu módulo é zero e seu ângulo é matematicamente indefinido, então o conversor devolve um ângulo zero nas duas unidades por convenção, em vez de falhar, o que mantém os pipelines totais e previsíveis enquanto documenta a escolha.
A computação é um punhado de operações de ponto flutuante, sem acesso à rede, sem aleatoriedade e sem relógio, de modo que a mesma entrada sempre produz uma saída byte a byte idêntica, propriedade que os exemplos de referência publicados verificam a cada mudança. Os chamadores típicos são ferramentas de engenharia elétrica convertendo impedância entre a forma retangular e a forma fasorial, código de processamento de sinais alternando entre representações cartesiana e de módulo-fase, sistemas de controle fazendo análise de resposta em frequência e estudantes conferindo lições de aritmética complexa.
Casos de uso
Engenharia elétrica e fasores
Converta uma impedância dada como resistência mais reatância (R + jX) em módulo e ângulo de fase em graus para a análise de circuitos de CA.
Processamento de sinais
Leve um bin complexo de FFT ou um coeficiente de filtro da forma real/imaginária para módulo e fase em radianos para a análise espectral.
Lição de matemática e ensino
Confira a forma polar de um número complexo antes de aplicar o teorema de De Moivre para potências e raízes, com o ângulo mostrado nas duas unidades.
Perguntas frequentes
Quanto custa?
A mesma conversão é gratuita para rodar no seu navegador nesta página.
O que é retornado exatamente?
O módulo (distância até a origem), o ângulo em radianos em (-pi, pi], o mesmo ângulo em graus em (-180, 180] e as partes real e imaginária ecoadas.
Por que radianos e graus?
Os radianos alimentam diretamente as funções trigonométricas, as exponenciais e a fórmula de Euler; os graus são o que a maioria das pessoas lê em livros didáticos e documentos de engenharia. Uma chamada retorna ambos, sem etapa de conversão do seu lado.
O que acontece com 0 + 0i?
O módulo é 0 e o ângulo é matematicamente indefinido, então o conversor retorna um ângulo 0 nas duas unidades por convenção, em vez de falhar.
Quais entradas são rejeitadas?
Tudo que não for um número finito: campos ausentes, null, booleanos, arrays, strings vazias ou não numéricas, NaN e Infinity. Strings numéricas como "3.5" são aceitas.
O ângulo está sempre no quadrante correto?
Sim. Ele é calculado com a arco-tangente de dois argumentos atan2(imag, real), que usa os sinais das duas partes para posicionar o ângulo no quadrante certo.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":1,"imag":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"real": 1,
"imag": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"real": 1,
"imag": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"real":1,"imag":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"real": 1,
"imag": 1
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.complex_number_to_polar_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
A mesma conversão roda gratuitamente no seu navegador nesta página, e o código idêntico atende a API paga a US$ 0,002 por requisição.
Validação, determinismo e onde ele se encaixa
O endpoint aceita números JSON e strings numéricas como "3.5" ou "-2", o que é conveniente quando os valores chegam como campos de formulário web, mas rejeita nulos, strings vazias, booleanos, arrays, o texto NaN e qualquer coisa infinita, respondendo com um erro de entrada inválida que nomeia o campo problemático em vez de produzir silenciosamente um ângulo sem sentido. Ele roda na edge em milissegundos, não guarda nada após a resposta e custa US$ 0,002 por requisição através da API, permanecendo gratuito para uso interativo no navegador.