Calculadora de raízes n-ésimas complexas

A calculadora de raízes complexas recebe um número complexo dado por sua parte real e sua parte imaginária, junto com um grau n inteiro positivo, e devolve a lista completa de suas raízes n-ésimas: exatamente n números complexos, cada um elevado à potência n reproduzindo o original. O cálculo aplica a fórmula de De Moivre, distribuindo as raízes uniformemente sobre um círculo no plano complexo, e apresenta cada raiz em forma retangular junto com sua magnitude e seu ângulo em radianos e em graus. O grau deve ser um inteiro positivo de até 1000 e ambas as partes devem ser números finitos; qualquer outra coisa é rejeitada com um erro de validação claro.

Por que um número complexo tem exatamente n raízes n-ésimas

Nos números reais, pedir uma raiz quadrada já é ambíguo: 4 tem duas raízes quadradas e os números negativos não têm nenhuma. Os números complexos resolvem isso de forma limpa. O teorema fundamental da álgebra garante que a equação w^n = z tem exatamente n soluções no plano complexo, contadas com multiplicidade, e todas são distintas sempre que z não é zero.

Por exemplo, o número 1 tem três raízes cúbicas: a conhecida raiz real 1 e duas raízes complexas, -1/2 mais ou menos sqrt(3)/2 vezes i, e cada uma elevada ao cubo devolve exatamente 1. Ao enviar uma parte real, uma parte imaginária e um grau para esta calculadora de raízes complexas, você recebe o conjunto completo, não apenas a chamada raiz principal que a maioria das calculadoras de bolso mostra.

A lista volta ordenada por ângulo crescente a partir da raiz principal, de modo que a primeira entrada é sempre a de menor argumento não negativo e as demais seguem no sentido anti-horário ao redor do círculo.

A fórmula de De Moivre e a geometria das raízes

O algoritmo é o teorema de De Moivre aplicado ao contrário. Primeiro, o número de entrada real + imag*i é convertido para a forma polar: a magnitude r é a hipotenusa das duas partes e o ângulo theta é o arco-tangente de dois argumentos, de modo que o quadrante sai sempre correto. Cada raiz n-ésima tem então magnitude r elevada a 1/n, igual para todas, o que coloca cada raiz sobre um mesmo círculo centrado na origem.

Os ângulos são (theta + 2*pi*k)/n para k de 0 a n-1: a volta completa é dividida em n setores iguais, então as raízes formam os vértices de um polígono regular de n lados inscrito nesse círculo, girado para que o primeiro vértice fique no ângulo theta/n. As oito raízes de ordem oito de um número sobre o eixo real positivo, por exemplo, caem a cada 45 graus como os pontos de uma rosa dos ventos.

A calculadora apresenta cada raiz de três maneiras ao mesmo tempo: como par retangular real e imag pronto para novos cálculos, como magnitude e como ângulo em radianos e em graus, porque radianos alimentam o código e graus alimentam as pessoas.

Validação, casos-limite e determinismo

O grau n deve ser um inteiro positivo: zero, valores negativos, frações como 2.5 e entradas não numéricas são rejeitados com um erro de entrada inválida que nomeia o campo degree, porque um grau fracionário ou não inteiro é outra operação (uma potência complexa, multivalorada de um modo mais profundo). O grau também é limitado a 1000, o que mantém a resposta limitada e o tempo de execução previsível; o limite está declarado nos limites da capacidade e é aplicado no código.

As partes real e imaginária devem ser números finitos; strings numéricas como "3.5" são aceitas por conveniência quando os valores chegam de formulários web, enquanto nulos, booleanos, arrays, strings vazias, NaN e Infinity são rejeitados nomeando o campo culpado. O número complexo zero é o único caso especial legítimo: sua magnitude é zero, então todas as suas raízes n-ésimas colapsam para 0 + 0i, e a calculadora devolve n cópias da origem em vez de falhar, o que mantém os pipelines totais.

Não há acesso à rede, nem aleatoriedade, nem relógio em nenhum ponto do cálculo, apenas um laço limitado de chamadas trigonométricas, de modo que a mesma entrada produz sempre os mesmos bytes.