Komplexe Wurzeln berechnen

Der Rechner für komplexe Wurzeln nimmt eine komplexe Zahl, gegeben durch ihren Real- und Imaginärteil, sowie einen positiven ganzzahligen Grad n entgegen und liefert die vollständige Liste ihrer n-ten Wurzeln: genau n komplexe Zahlen, von denen jede zur Potenz n erhoben das Original ergibt. Die Berechnung wendet die Formel von De Moivre an, die die Wurzeln gleichmäßig auf einem Kreis in der komplexen Ebene verteilt, und gibt jede Wurzel in rechtwinkliger Form zusammen mit ihrem Betrag und ihrem Winkel in Radiant und Grad aus. Der Grad muss eine positive ganze Zahl bis 1000 sein und beide Teile müssen endliche Zahlen sein; alles andere wird mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt.

Warum eine komplexe Zahl genau n n-te Wurzeln hat

Bei den reellen Zahlen ist schon die Quadratwurzel mehrdeutig: 4 hat zwei Quadratwurzeln und negative Zahlen haben keine. Komplexe Zahlen lösen das sauber. Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass die Gleichung w^n = z genau n Lösungen in der komplexen Ebene hat, mit Vielfachheit gezählt, und dass sie alle verschieden sind, solange z nicht null ist.

So hat die Zahl 1 drei Kubikwurzeln: die bekannte reelle Wurzel 1 und zwei komplexe Wurzeln, -1/2 plus oder minus sqrt(3)/2 mal i, und jede zur dritten Potenz erhoben ergibt wieder genau 1. Wenn Sie Realteil, Imaginärteil und Grad an diesen Rechner für komplexe Wurzeln senden, erhalten Sie die vollständige Menge, nicht nur die sogenannte Hauptwurzel, die die meisten Taschenrechner anzeigen.

Die Liste kommt nach steigendem Winkel sortiert zurück, beginnend mit der Hauptwurzel, sodass der erste Eintrag stets der mit dem kleinsten nichtnegativen Argument ist und die übrigen gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis folgen.

Die Formel von De Moivre und die Geometrie der Wurzeln

Der Algorithmus ist der Satz von De Moivre, rückwärts angewendet. Zuerst wird die Eingabezahl real + imag*i in Polarform umgewandelt: Der Betrag r ist die Hypotenuse der beiden Teile und der Winkel theta der Arkustangens mit zwei Argumenten, sodass der Quadrant immer stimmt. Jede n-te Wurzel hat dann den Betrag r hoch 1/n, für alle gleich, wodurch jede Wurzel auf einem gemeinsamen Kreis um den Ursprung liegt.

Die Winkel sind (theta + 2*pi*k)/n für k von 0 bis n-1: Der Vollkreis wird in n gleiche Sektoren geteilt, also bilden die Wurzeln die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks in diesem Kreis, so gedreht, dass der erste Eckpunkt beim Winkel theta/n liegt. Die acht achten Wurzeln einer Zahl auf der positiven reellen Achse etwa liegen alle 45 Grad wie die Punkte einer Windrose.

Der Rechner gibt jede Wurzel dreifach zugleich aus: als rechtwinkliges Paar real und imag für weitere Rechnungen, als Betrag und als Winkel in Radiant und Grad, denn Radiant speist den Code und Grad die Menschen.

Validierung, Grenzfälle und Determinismus

Der Grad n muss eine positive ganze Zahl sein: Null, negative Werte, Brüche wie 2.5 und nicht numerische Eingaben werden mit einem Eingabefehler abgelehnt, der das Feld degree nennt, denn ein gebrochener oder nicht ganzzahliger Grad ist eine andere Operation (eine komplexe Potenz, tiefergehend mehrdeutig). Der Grad ist außerdem auf 1000 begrenzt, was die Antwort beschränkt und die Laufzeit vorhersehbar hält; die Grenze ist in den Limits der Fähigkeit deklariert und wird im Code durchgesetzt.

Real- und Imaginärteil müssen endliche Zahlen sein; numerische Zeichenketten wie "3.5" werden akzeptiert, wenn Werte aus Webformularen kommen, während null, boolesche Werte, Arrays, leere Zeichenketten, NaN und Infinity unter Nennung des fehlerhaften Felds abgelehnt werden. Die komplexe Zahl Null ist der einzige legitime Sonderfall: Ihr Betrag ist null, also fallen alle ihre n-ten Wurzeln auf 0 + 0i zusammen, und der Rechner gibt n Kopien des Ursprungs zurück, statt zu scheitern, wodurch Pipelines total bleiben.

Es gibt keinen Netzwerkzugriff, keinen Zufall und keine Uhr irgendwo in der Berechnung, nur eine begrenzte Schleife trigonometrischer Aufrufe, sodass dieselbe Eingabe stets dieselben Bytes erzeugt.