Komplexe Zahl in kartesische Form: Real- und Imaginärteil

Der Umrechner für die kartesische Form komplexer Zahlen nimmt eine komplexe Zahl in Polarform, also durch ihren Betrag und ihr Argument gegeben, und liefert ihre kartesische Form: den Realteil und den Imaginärteil des äquivalenten Ausdrucks a + bi. Der Realteil ist der Betrag mal dem Kosinus des Arguments, der Imaginärteil der Betrag mal dem Sinus, und das Argument kann wahlweise in Radiant oder in Grad angegeben werden, sodass Sie keinen separaten Schritt zur Einheitenumrechnung benötigen. Der Betrag muss eine endliche, nicht negative Zahl sein und das Argument muss endlich sein; alles andere wird mit einer klaren Validierungsfehlermeldung abgelehnt.

Von Betrag und Argument zu a + bi

Eine komplexe Zahl in Polarform wird durch einen Abstand und eine Richtung beschrieben: Der Betrag r sagt Ihnen, wie weit die Zahl vom Ursprung der komplexen Ebene entfernt liegt, und das Argument theta gibt den Winkel an, der gegen den Uhrzeigersinn von der positiven reellen Achse aus gemessen wird. Die kartesische Form beschreibt dieselbe Zahl stattdessen über ihre Koordinaten: einen Realteil a und einen Imaginärteil b, geschrieben als a + bi.

Der Übergang von Polarform zu kartesischer Form ist eine direkte Anwendung der Trigonometrie, denn der Betrag ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten genau die beiden Teile sind; der Realteil ist also r mal dem Kosinus von theta und der Imaginärteil r mal dem Sinus von theta. Ein Beispiel: Ein Betrag von 2 mit einem Argument von 60 Grad ergibt einen Realteil von 2 mal einer Hälfte, also 1, und einen Imaginärteil von 2 mal der Quadratwurzel aus drei durch zwei, etwa 1.732.

Wenn Sie Betrag und Argument an diesen Umrechner für die kartesische Form komplexer Zahlen senden, erhalten Sie beide Teile in einem einzigen Aufruf zurück – genau der Schritt, den Sie nach dem Multiplizieren, Dividieren oder dem Bilden von Potenzen und Wurzeln in Polarform brauchen, denn diese Operationen sind in Polarkoordinaten einfach, doch die meisten Anzeigen, Formeln und nachgeschalteten Werkzeuge erwarten die vertraute Gestalt a + bi. Beide zurückgegebenen Teile werden auf zwölf Dezimalstellen gerundet, damit Ergebnisse auf verschiedenen Rechnern Byte für Byte identisch vergleichbar sind.

Radiant oder Grad, ein Aufruf, kein Zusatzschritt

Winkel in Mathematik und Technik kommen in zwei verschiedenen Einheiten daher, und die falsche Wahl ruiniert stillschweigend eine Rechnung: Pi Viertel Radiant und 45 Grad sind dieselbe Richtung, aber wer 45 in einen Kosinus einspeist, der Radiant erwartet, erhält ein bedeutungsloses Ergebnis. Dieser Umrechner beseitigt diese Falle, indem er ein explizites Einheitenfeld akzeptiert. Übergeben Sie "rad" oder lassen Sie das Feld weg, wird das Argument als Radiant gelesen – die natürliche Einheit der Eulerschen Formel, der trigonometrischen Funktionen jeder Programmiersprache und des Großteils der Hochschulmathematik.

Übergeben Sie "deg", wird das Argument als Grad gelesen, die Einheit aus technischen Zeichnungen, Zeigerdiagrammen, Navigationspeilungen und Hausaufgaben, und der Umrechner multipliziert vor der Berechnung von Kosinus und Sinus mit Pi durch 180. Die gewählte Einheit wird in der Antwort zusammen mit dem von Ihnen gelieferten Betrag und Argument zurückgespiegelt, sodass ein Protokoll oder eine Tabellenzeile stets festhält, welche Interpretation verwendet wurde; jeder andere Wert des Einheitenfelds wird mit einem Validierungsfehler abgelehnt statt geraten.

Da Umrechnung, Kosinus und Sinus innerhalb derselben deterministischen Funktion geschehen, gibt es genau einen Rundungspunkt, und die veröffentlichten Referenzbeispiele verifizieren das Ergebnis bei jeder Änderung Byte für Byte.

Validierung, Determinismus und Einordnung

Ein Betrag von null ist ein bewusst akzeptierter Sonderfall: Die Zahl fällt auf den Ursprung zusammen, daher gibt der Umrechner unabhängig vom Argument 0 + 0i zurück, wodurch Verarbeitungsketten total und vorhersehbar bleiben. Die Berechnung besteht aus einer Handvoll Gleitkommaoperationen ohne Netzwerkzugriff, ohne Zufall und ohne Uhr, sodass dieselbe Eingabe stets eine Byte-identische Ausgabe liefert.

Typische Aufrufer sind Werkzeuge der Elektrotechnik, die einen als Amplitude und Phase gegebenen Zeiger in Wirk- und Blindanteil verwandeln, Signalverarbeitungscode, der ein Amplituden-Phasen-Spektrum zurück in reelle und imaginäre FFT-Bins umwandelt, Regelungssysteme, die zwischen Darstellungen des Frequenzgangs übersetzen, und Studierende, die die kartesische Form nach Anwendung des Satzes von De Moivre kontrollieren.