a+bi-Form-Umrechner

Der Konverter für die Form a+bi nimmt den Realteil a und den Imaginärteil bi einer komplexen Zahl entgegen und liefert in einem einzigen Aufruf beide Standarddarstellungen: die kartesische Form a+bi, korrekt vorzeichenbehaftet und vereinfacht, sowie die Polarform mit dem Betrag r und dem Argument theta, jeweils in Radiant und Grad. Es ist genau die Umrechnung, die jede Algebra-Studentin und jeder Ingenieur bei Zeigern, Impedanzen oder Signalen von Hand durchführt — hier deterministisch und ohne Rundungsüberraschungen. Derselbe Code, der auf unserer Edge läuft, arbeitet auf dieser Seite kostenlos in Ihrem Browser.

Zwei Namen für dieselbe Zahl

Eine komplexe Zahl ist ein Punkt in der Ebene, und wie jeder Punkt lässt sie sich auf zwei Arten benennen. Die kartesische Form a+bi gibt an, wie weit man entlang der reellen Achse und wie weit entlang der imaginären Achse geht: 3+4i bedeutet drei Einheiten nach rechts, vier nach oben. Die Polarform gibt an, wie weit der Punkt vom Ursprung entfernt ist und unter welchem Winkel: ein Betrag r und ein Argument theta, geschrieben als r(cos theta + i sin theta).

Keine der beiden Formen ist richtiger als die andere; sie sind für unterschiedliche Rechenschritte praktisch. Addition und Subtraktion sind in kartesischer Form trivial und in Polarform mühsam, während Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln in Polarform einfach werden, weil sich Beträge multiplizieren und Argumente addieren. Dieser Konverter liefert Ihnen beide Darstellungen aus den zwei Teilen, die Sie bereits haben, sodass Sie diejenige wählen können, die zum nächsten Schritt Ihrer Rechnung passt.

Senden Sie a und bi, und Sie erhalten die formatierte Zeichenkette a+bi, den Betrag sowie das Argument in Radiant und Grad.

Wie Betrag und Argument berechnet werden

Der Betrag ist der euklidische Abstand vom Ursprung, berechnet mit einer numerisch stabilen Hypotenuse, damit sehr große oder sehr kleine Teile nicht über- oder unterlaufen, wie es ein naives sqrt(a² + b²) kann. Das Argument wird mit dem Arkustangens mit zwei Argumenten bestimmt, der die Vorzeichen beider Teile berücksichtigt und den Winkel daher in den richtigen Quadranten setzt: 1+i und -1-i haben dieselbe Steigung, aber entgegengesetzte Richtungen, und das Ergebnis spiegelt das mit Argumenten von 45 beziehungsweise -135 Grad wider.

Das Argument wird stets im Hauptbereich von -180 bis 180 Grad angegeben. Der Ursprung 0+0i wird akzeptiert und konventionsgemäß mit einem Argument von 0 ausgegeben, da sein Winkel mathematisch undefiniert ist, aber eine eindeutige Antwort nützlicher ist als ein Fehler bei einer völlig gültigen komplexen Zahl. Alle angezeigten Werte werden auf die von Ihnen gewünschte Genauigkeit gerundet, standardmäßig sechs Nachkommastellen, sodass die Ergebnisse stabil und maschinenübergreifend vergleichbar sind.

Wo die Umrechnung in der Praxis vorkommt

Elektroingenieure leben in dieser Umrechnung: Eine Impedanz, geschrieben als Wirkwiderstand plus Blindwiderstand, etwa 30+40i Ohm, wird zu einem Betrag von 50 Ohm bei einer Phase von etwa 53.13 Grad — genau das, was ein Messgerät tatsächlich anzeigt. Signalverarbeitungscode, der Spektren multipliziert, wechselt in die Polarform, damit die Multiplikation zu einer Addition der Phasen und einem Produkt der Beträge wird, und wechselt dann für die Rücktransformation wieder in die kartesische Form.

Studierende nutzen sie, um Hausaufgaben zum Satz von De Moivre zu kontrollieren, bei dem das Potenzieren einer komplexen Zahl in Polarform eine Einzeiler-Aufgabe und in kartesischer Form eine Seite Binomialentwicklung ist. Der Endpunkt läuft als reine Funktion ohne Speicherung und ohne Netzwerkaufrufe: Ihre Zahlen werden umgerechnet und verworfen.