Convertisseur forme a+bi

Le convertisseur de forme a+bi prend la partie réelle a et la partie imaginaire bi d'un nombre complexe et renvoie en un seul appel ses deux représentations standard : la forme cartésienne a+bi, correctement signée et simplifiée, et la forme polaire avec le module r et l'argument thêta exprimés en radians comme en degrés. C'est la conversion que tout étudiant en algèbre et tout ingénieur travaillant avec des phaseurs, des impédances ou des signaux fait à la main, réalisée ici de façon déterministe et sans surprise d'arrondi. Le même code qui tourne sur notre edge s'exécute gratuitement dans votre navigateur sur cette page.

Deux noms pour un même nombre

Un nombre complexe est un point du plan et, comme tout point, il peut être nommé de deux façons. La forme cartésienne a+bi indique de combien avancer le long de l'axe réel et de combien le long de l'axe imaginaire : 3+4i signifie trois unités à droite, quatre vers le haut. La forme polaire indique à quelle distance du point d'origine se trouve le point et sous quel angle : un module r et un argument thêta, écrits r(cos θ + i sin θ).

Aucune des deux formes n'est plus correcte que l'autre ; elles sont pratiques pour des opérations différentes. L'addition et la soustraction sont triviales en forme cartésienne et pénibles en forme polaire, tandis que la multiplication, la division, les puissances et les racines deviennent simples en forme polaire, car les modules se multiplient et les arguments s'additionnent. Ce convertisseur vous donne les deux représentations à partir des deux parties que vous avez déjà, pour que vous choisissiez celle qui convient à l'étape suivante de votre calcul.

Envoyez a et bi, et vous recevez la chaîne a+bi formatée, le module et l'argument en radians et en degrés.

Comment le module et l'argument sont calculés

Le module est la distance euclidienne à l'origine, calculée avec une hypoténuse numériquement stable, de sorte que des parties très grandes ou très petites ne provoquent ni dépassement ni sous-dépassement comme peut le faire un sqrt(a² + b²) naïf. L'argument est calculé avec l'arctangente à deux arguments, qui examine les signes des deux parties et place donc l'angle dans le bon quadrant : 1+i et -1-i ont la même pente mais des directions opposées, et le résultat le reflète, avec des arguments de 45 et -135 degrés respectivement.

L'argument est toujours rapporté dans l'intervalle principal de -180 à 180 degrés. L'origine 0+0i est acceptée et rapportée avec un argument de 0 par convention, car son angle est mathématiquement indéfini, mais une réponse définie est plus utile qu'une erreur pour un nombre complexe parfaitement valide. Toutes les valeurs affichées sont arrondies à la précision que vous demandez, six décimales par défaut, pour des résultats stables et comparables d'une machine à l'autre.

Où cette conversion apparaît en pratique

Les ingénieurs électriciens vivent dans cette conversion : une impédance écrite comme résistance plus réactance, par exemple 30+40i ohms, devient une magnitude de 50 ohms avec une phase d'environ 53.13 degrés, c'est-à-dire exactement ce qu'affiche un appareil de mesure. Le code de traitement du signal qui multiplie des spectres passe en forme polaire pour que la multiplication devienne une addition de phases et un produit de magnitudes, puis repasse en forme cartésienne pour la transformée inverse.

Les étudiants s'en servent pour vérifier leurs devoirs sur le théorème de De Moivre, où élever un nombre complexe à une puissance tient en une ligne en forme polaire contre une page de développement binomial en forme cartésienne. Le point de terminaison fonctionne comme une fonction pure, sans stockage ni appels réseau : vos nombres sont convertis puis oubliés.