Convertisseur nombre complexe en forme polaire : module et angle
Décrivez un nombre complexe par une distance et une direction plutôt que par des coordonnées : 3 + 4i a un module de 5, et 2i pointe vers le haut à 90°, l'angle étant aussi donné en radians. Sous l'axe réel, l'angle est négatif. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Partie réelle
- 1
- Partie imaginaire
- 1
- Magnitude
- 1,4142135624
- Angle (rad)
- 0,7853981634
- Angle (degrés)
- 45
Le convertisseur de nombre complexe en forme polaire prend un nombre complexe donné par sa partie réelle et sa partie imaginaire et renvoie sa forme polaire : le module, c'est-à-dire la distance à l'origine dans le plan complexe, et l'angle (ou argument) mesuré dans le sens trigonométrique depuis l'axe réel positif, exprimé en radians comme en degrés. L'angle est calculé avec l'arctangente à deux arguments, donc il se situe toujours dans le bon quadrant, et une partie imaginaire négative donne un angle négatif. Les deux parties doivent être des nombres finis ; toute autre valeur est rejetée avec une erreur de validation claire.
De a + bi au module et à l'angle
Un nombre complexe écrit sous la forme a + bi repère un point dans le plan complexe : la partie réelle a indique sa position sur l'axe horizontal, et la partie imaginaire b sa hauteur. La forme polaire décrit ce même nombre par une distance et une direction. La distance est le module, souvent noté r ou |z|, calculé comme l'hypoténuse du triangle rectangle formé par les deux parties : ainsi 3 + 4i a pour module exactement 5.
La direction est l'angle, souvent noté thêta ou arg(z), mesuré dans le sens trigonométrique depuis l'axe réel positif : un nombre purement imaginaire comme 2i se situe à π/2 radians, soit 90 degrés.
En transmettre les deux parties à ce convertisseur de nombre complexe en forme polaire renvoie le module et l'angle en un seul appel, ce qui permet ensuite d'écrire le nombre sous la forme r(cos θ + i sin θ) ou, plus compactement, r fois e puissance iθ : la forme qui simplifie multiplication, division, puissances et racines des nombres complexes.
Comme le module provient d'un calcul d'hypoténuse plutôt que d'une racine carrée naïve de la somme des carrés, le résultat évite tout dépassement de capacité même avec des parties finies très grandes.
Pourquoi l'angle passe par atan2 et s'affiche dans deux unités
Une arctangente simple du quotient de la partie imaginaire par la partie réelle ne peut pas distinguer un nombre du premier quadrant d'un nombre du troisième, car le rapport est identique, et elle échoue complètement lorsque la partie réelle est nulle. L'arctangente à deux arguments, atan2, examine les signes des deux parties : l'angle pointe donc toujours vers le bon quadrant et il est défini pour toute entrée sauf le zéro exact.
Le résultat se situe dans l'intervalle (−π, π] radians : les angles positifs signifient que le nombre est au-dessus de l'axe réel, les angles négatifs en dessous, π exactement désigne l'axe réel négatif, et zéro l'axe réel positif.
Ce convertisseur affiche l'angle deux fois, en radians et en degrés, car les usages diffèrent : les radians alimentent directement les fonctions trigonométriques et exponentielles de tout langage de programmation ainsi que la formule d'Euler, tandis que les degrés sont ce que la plupart des gens lisent dans les devoirs, les manuels et les spécifications d'ingénierie.
Calculer les deux en un appel vous épargne une conversion et une ambiguïté d'arrondi, et les deux valeurs sont arrondies à douze décimales pour que les résultats soient identiques à l'octet près d'une machine ou d'un moteur JavaScript à l'autre.
Validation, déterminisme et cas d'usage
Chaque partie doit être un nombre fini. Le nombre complexe nul est un cas particulier délibéré : son module vaut zéro et son angle est mathématiquement indéfini, donc le convertisseur renvoie un angle de zéro dans les deux unités par convention plutôt que d'échouer, ce qui garde les chaînes de traitement totales et prévisibles tout en documentant ce choix.
Le calcul se résume à quelques opérations en virgule flottante, sans accès réseau, sans aléa ni horloge : la même entrée donne toujours une sortie identique à l'octet près, propriété que les exemples de référence publiés vérifient à chaque modification. Les appelants typiques sont les outils d'électrotechnique convertissant une impédance entre forme rectangulaire et phaseur, le code de traitement du signal passant des représentations cartésiennes aux représentations amplitude-phase, les systèmes de contrôle en analyse harmonique et les étudiants vérifiant leurs exercices d'arithmétique complexe.
Cas d’usage
Électrotechnique et phaseurs
Convertissez une impédance donnée comme résistance plus réactance (R + jX) en module et angle de phase en degrés pour l'analyse des circuits en courant alternatif.
Traitement du signal
Passez un bin de FFT complexe ou un coefficient de filtre de la forme réelle/imaginaire au module et à la phase en radians pour l'analyse spectrale.
Devoirs de maths et enseignement
Vérifiez la forme polaire d'un nombre complexe avant d'appliquer le théorème de De Moivre pour les puissances et les racines, avec l'angle affiché dans les deux unités.
Questions fréquentes
Combien cela coûte-t-il ?
La même conversion s'exécute gratuitement dans votre navigateur sur cette page.
Que renvoie-t-on exactement ?
Le module (distance à l'origine), l'angle en radians dans (−π, π], le même angle en degrés dans (−180, 180], ainsi que les parties réelle et imaginaire renvoyées en écho.
Pourquoi à la fois des radians et des degrés ?
Les radians alimentent directement les fonctions trigonométriques, les exponentielles et la formule d'Euler ; les degrés sont ce que la plupart des gens lisent dans les manuels et les documents d'ingénierie. Un seul appel renvoie les deux, sans conversion de votre côté.
Que se passe-t-il pour 0 + 0i ?
Le module vaut 0 et l'angle est mathématiquement indéfini, donc le convertisseur renvoie un angle de 0 dans les deux unités par convention au lieu d'échouer.
Quelles entrées sont rejetées ?
Tout ce qui n'est pas un nombre fini : champs manquants, null, booléens, tableaux, chaînes vides ou non numériques, NaN et Infinity. Les chaînes numériques comme « 3.5 » sont acceptées.
L'angle est-il toujours dans le bon quadrant ?
Oui. Il est calculé avec l'arctangente à deux arguments atan2(imag, real), qui utilise les signes des deux parties pour placer l'angle dans le bon quadrant.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
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-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"real":1,"imag":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form", {
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"method" => "POST",
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],
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"real":1,"imag":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/complex-number-to-polar-form", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
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res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
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"imag": 1
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.complex_number_to_polar_form",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
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Validation, déterminisme et cas d'usage
Le point de terminaison accepte les nombres JSON et les chaînes numériques comme « 3.5 » ou « -2 », pratique quand les valeurs proviennent de champs de formulaire web, mais il rejette les valeurs nulles, les chaînes vides, les booléens, les tableaux, le texte NaN et toute valeur infinie, en répondant par une erreur d'entrée invalide qui nomme le champ fautif au lieu de produire silencieusement un angle dépourvu de sens. Le service s'exécute en périphérie de réseau en quelques millisecondes, ne conserve rien après la réponse et coûte $0.002 par requête via l'API, tout en restant gratuit à l'usage interactif dans le navigateur.