تحويل الأعداد المركبة إلى الصيغة القطبية | محوّل مجاني

يأخذ محوّل العدد المركّب إلى الصيغة القطبية عدداً مركّباً مُعطىً بجزأيه الحقيقي والتخيّلي ويعيد صيغته القطبية: المقدار، وهو المسافة من نقطة الأصل في المستوى المركّب، والزاوية (أو السعة) المقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور الحقيقي الموجب، وتُعرَض بالراديان والدرجات معاً. تُحسَب الزاوية بدالة الظل العكسية ثنائية الوسيطين، لذا تقع دائماً في الربع الصحيح، ويُنتج الجزء التخيّلي السالب زاوية سالبة. يجب أن يكون الجزآن عددين منتهيين، وما عدا ذلك يُرفَض برسالة خطأ تحقّق واضحة.

من a + bi إلى المقدار والزاوية

العدد المركّب المكتوب على شكل a + bi يحدّد نقطة في المستوى المركّب: فالجزء الحقيقي a يقيس مدى بُعده على المحور الأفقي، والجزء التخيّلي b مدى ارتفاعه أو انخفاضه. أما الصيغة القطبية فتصف العدد نفسه بمسافةٍ واتجاه. المسافة هي المقدار، ويُرمَز له غالباً بـ r أو |z|، ويُحسَب بوصفه وتر المثلث القائم الذي يكوّنه الجزآن، فالعدد 3 + 4i مقداره 5 تماماً.

والاتجاه هو الزاوية، ويُرمَز لها غالباً بـ theta أو arg(z)، وتُقاس عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور الحقيقي الموجب، فعدد تخيّلي خالص مثل 2i يقع عند pi/2 راديان أي 90 درجة. وإرسال الجزأين إلى محوّل العدد المركّب إلى الصيغة القطبية هذا يعيد المقدار والزاوية في استدعاء واحد، وبمجرد حصولك عليهما يمكنك كتابة العدد على شكل r(cos theta + i sin theta) أو بإيجاز على صورة r مضروباً في e أس i theta، وهي الصيغة التي تُيسّر ضرب الأعداد المركّبة وقسمتها ورفعها لقوى واستخراج جذورها.

ولأن المقدار ناتج عن حساب وتر لا عن جذر تربيعي ساذج لمجموع مربعات، فإن النتيجة تتجنّب الفيض حتى عندما يكون الجزآن عددين منتهيين كبيرين جداً.

لماذا تُحسَب الزاوية بـ atan2 وتأتي بوحدتين

دالة الظل العكسية العادية للجزء التخيّلي مقسوماً على الجزء الحقيقي لا تستطيع التمييز بين عدد في الربع الأول وآخر في الثالث، لأن النسبة متطابقة، وتنهار تماماً عندما يكون الجزء الحقيقي صفراً. أما دالة الظل العكسية ثنائية الوسيطين atan2 فتفحص إشارتي الجزأين معاً، فتشير الزاوية دائماً إلى الربع الصحيح وتكون معرّفة لكل مدخل ما عدا الصفر المطلق. تقع النتيجة في المجال من سالب pi إلى موجب pi راديان: الزوايا الموجبة تعني أن العدد فوق المحور الحقيقي، والسالبة تعني أنه تحته، وpi بالضبط تعني المحور الحقيقي السالب، والصفر يعني المحور الحقيقي الموجب.

يعرض هذا المحوّل الزاوية مرتين، بالراديان وبالدرجات، لأن المستفيدين المختلفين يريدون وحدات مختلفة: فالراديان يغذّي مباشرةً الدوال المثلثية والأسّية في كل لغات البرمجة وصيغة أويلر، بينما الدرجات هي ما يقرأه معظم الناس في الواجبات والكتب والمواصفات الهندسية. وحساب كلتيهما في استدعاء واحد يوفّر عليك خطوة تحويل وغموض تقريب، وتُقرَّب القيمتان إلى اثني عشر منزلاً عشرياً لتتطابق النتائج بايتاً ببايت عبر الأجهزة ومحركات JavaScript.

التحقق من المدخلات والحتمية ومجالات الاستخدام

يجب أن يكون كل جزء عدداً منتهياً. والعدد المركّب الصفري حالة خاصة مقصودة: مقداره صفر وزاويته غير معرّفة رياضياً، فيعيد المحوّل زاوية صفر في كلتا الوحدتين اصطلاحاً بدل الفشل، ما يحافظ على شمولية خطوط المعالجة وقابليتها للتنبؤ مع توثيق هذا الاختيار. والحساب بضع عمليات فاصلة عائمة بلا وصول إلى الشبكة ولا عشوائية ولا ساعة، فالمدخل نفسه يعطي دائماً المخرج ذاته بايتاً ببايت، وهي خاصية تتحقق منها الأمثلة الذهبية المنشورة عند كل تغيير.

من المستخدمين المعتادين أدوات الهندسة الكهربائية التي تحوّل المعاوقة بين الصيغة المستطيلة وصيغة الطور، ورمز معالجة الإشارات الذي ينتقل بين التمثيل الديكارتي وتمثيل المقدار والطور، وأنظمة التحكم في تحليل الاستجابة الترددية، والطلاب الذين يراجعون واجبات الحساب المركّب.