Umrechner in Zylinderkoordinaten

Dieser Umrechner für Zylinderkoordinaten nimmt einen Punkt im dreidimensionalen Raum, gegeben durch seine kartesischen Koordinaten x, y und z, und liefert denselben Punkt in Zylinderform: den Radius, also den Abstand des Punktes von der vertikalen z-Achse; den Azimut, also den Winkel im Bogenmaß, der in der horizontalen Ebene gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen wird; und die Höhe, die schlicht die unverändert übernommene z-Koordinate ist. Der Azimut wird mit dem Arkustangens zweier Argumente berechnet und liegt daher stets im richtigen Quadranten. Alle drei Eingaben müssen endliche Zahlen sein; alles andere wird mit einem klaren Validierungsfehler abgelehnt, der das fehlerhafte Feld nennt.

Von x, y und z zu Radius, Azimut und Höhe

Kartesische Koordinaten verorten einen Punkt im Raum, indem sie drei senkrechte Achsen entlanggehen: x nach rechts, y nach vorn und z nach oben. Zylinderkoordinaten beschreiben genau denselben Punkt so, wie es ein Radarschirm täte: wie weit der Punkt von der vertikalen Achse entfernt sitzt, in welcher Himmelsrichtung um diese Achse er liegt und wie hoch er ist.

Der Radius ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, das x und y in der horizontalen Ebene bilden; für den Punkt (3, 4, 5) beträgt der Radius also genau 5, der Azimut etwa 0.9273 im Bogenmaß und die Höhe 5. Die Höhe ändert sich bei der Umrechnung nie, und genau das macht Zylinderkoordinaten so praktisch: Sie sind schlicht Polarkoordinaten in der horizontalen Ebene, an die die vertikale Koordinate unangetastet angehängt wird. Wer die drei Koordinaten an diesen Umrechner für Zylinderkoordinaten sendet, erhält alle drei Werte in einem einzigen Aufruf.

Da der Radius aus einer Hypotenusenberechnung stammt und nicht aus einer naiven Quadratwurzel der Quadratsumme, bleibt das Ergebnis genau und vermeidet Überläufe, selbst wenn die Koordinaten sehr große endliche Zahlen sind – wichtig in technischen Pipelines, in denen Größenordnungen routinemäßig in die Millionen gehen.

Warum der Azimut atan2 nutzt und im Bogenmaß lebt

Ein einfacher Arkustangens von y geteilt durch x kann einen Punkt im ersten Quadranten nicht von einem im dritten unterscheiden, weil das Verhältnis identisch ist, und er versagt vollständig, wenn x null ist. Der Arkustangens zweier Argumente, atan2, betrachtet die Vorzeichen beider Koordinaten, sodass der zurückgegebene Azimut stets in den richtigen Quadranten zeigt und für jeden Punkt außerhalb der exakten z-Achse definiert ist.

Das Ergebnis liegt im halboffenen Intervall von -π bis π: positive Werte bedeuten, dass der Punkt in Richtung positivem y liegt, negative in Richtung negativem y, genau π bedeutet Kurs genau nach links entlang der negativen x-Achse und null Kurs genau nach rechts.

Punkte auf der z-Achse selbst, bei denen x und y beide null sind, sind ein Sonderfall: Der Radius ist null und der Azimut mathematisch undefiniert, daher liefert dieser Umrechner konventionsgemäß einen Azimut von null, statt zu scheitern – so bleiben Pipelines total und vorhersehbar, und die Entscheidung bleibt dokumentiert.

Validierung, Determinismus und Einsatzorte

Jede der drei Koordinaten muss eine endliche Zahl sein. Die Ergebnisse werden auf zwölf Dezimalstellen gerundet, damit Vergleiche zwischen Maschinen und JavaScript-Engines stabil bleiben. Typische Aufrufer sind Physik- und Elektromagnetikcode, der die Zylindersymmetrie um einen Draht oder ein Rohr bevorzugt, Robotik- und Spielwerkzeuge, die Sensorvektoren in Kurs, Distanz und Höhe umwandeln, Computergrafik-Pipelines, die Punkte um eine Rotationsachse platzieren, sowie Geodaten-Aufgaben, die in Peilung und Horizontalentfernung denken.