Resolvedor x³=k
x³ = 8 tem três soluções, não uma: a raiz real 2 e o par complexo -1 ± i√3. Informe qualquer k real e receba as três raízes de x³ = k com parte real e imaginária. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- K
- 8
- Equação
- x^3=8
- Raiz real
- 2
A equação cúbica pura x ao cubo igual a k pede todo número complexo cujo cubo seja a constante real k. Todo estudante de álgebra encontra primeiro a raiz cúbica real, mas o teorema fundamental da álgebra garante mais duas raízes fora da reta real, como par conjugado. Este resolvedor aceita um único número real finito k, calcula a raiz cúbica real única com um primitivo de raiz cúbica que respeita o sinal, multiplica-a pelas três raízes cúbicas da unidade e devolve a raiz real junto com as duas raízes complexas em forma retangular (parte real e imaginária). Use-o sempre que precisar das três soluções de x³ = k sem montar um sistema completo de álgebra computacional.
O que x³ = k significa e como surgem as três raízes cúbicas
Sobre os números reais, a aplicação que envia x para x ao cubo é bijetiva, de modo que todo k real tem exatamente uma raiz cúbica real. Sobre os complexos, a equação x ao cubo igual a k é um cúbico mônico e portanto tem três raízes contando multiplicidade.
Essas três raízes são os produtos da raiz cúbica real r igual à raiz cúbica de k com as três raízes cúbicas da unidade: um, ômega e ômega ao quadrado, onde ômega é menos um meio mais i vezes a raiz quadrada de três sobre dois, e ômega ao quadrado é o seu conjugado.
Quando k é positivo a raiz real é positiva e o par complexo tem parte real negativa; quando k é negativo a raiz real é negativa e o par complexo tem parte real positiva; quando k é zero as três raízes colapsam na origem como raiz real tripla. A apresentação retangular (parte real e imaginária como números separados) é o que a maioria das APIs numéricas, planilhas e bibliotecas de gráfico espera; magnitude polar e argumento não são necessários para verificar que cada raiz elevada ao cubo volta a k.
Como a construção usa apenas a raiz cúbica real e fatores algébricos fixos, o resultado é plenamente determinístico e livre de cortes de ramo que afetam implementações da raiz cúbica complexa principal sobre reais negativos.
Onde as equações cúbicas puras são úteis
Salas de aula e plataformas de tutoria usam um resolvedor da equação x ao cubo igual a k para que quem aprende veja que x ao cubo igual a oito tem uma resposta real e duas complexas, e não só a raiz cúbica real de uma calculadora de bolso. Geradores de preparação para exames precisam de um oráculo determinístico que devolva pares retangulares ordenados em vez de ângulos polares flutuantes que diferem em dois pi entre motores.
Cadernos de engenharia e de processamento de sinais frequentemente reduzem ramos de raiz cúbica de equações características ou passos intermediários de Cardano à forma pura x ao cubo igual a k e precisam de ambas as raízes complexas sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional. A validação falha não consome saldo. Mantenha as solicitações pequenas, fixe os componentes retangulares arredondados nos testes e obtenha raízes cúbicas reproduzíveis para lições, plugins de LMS e edge workers sem montar a sua própria infraestrutura de matemática simbólica.
Casos de uso
Conferências de aula e lição de casa
Permita que os alunos enviem k para x³ = k e verifiquem a raiz cúbica real mais ambas as raízes complexas retangulares frente aos métodos de raízes da unidade do livro didático.
Cadernos e intermediários de Cardano
Resolva ramos puros x³ = k dentro de resolvedores cúbicos ou modelos de sinal sem importar um sistema completo de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
O resolvedor devolve raízes complexas?
Sim. Para k real diferente de zero sempre há uma raiz real e duas raízes complexas conjugadas. Ambas são devolvidas com campos re e im.
E se k for negativo?
k negativo é permitido. A raiz cúbica real é negativa (Math.cbrt preserva o sinal) e o par complexo tem parte real positiva −r/2 com r < 0.
Por que x³ = k tem três raízes e não uma?
Nos números complexos, toda equação cúbica tem três raízes. Elas são a raiz cúbica real de k multiplicada pelas três raízes cúbicas da unidade, o que acrescenta um par complexo conjugado.
O que acontece quando k é zero?
As três raízes se reduzem a 0, então zero é uma raiz real tripla. Nesse caso não há par complexo, porque qualquer produto pela raiz real 0 também é 0.
Como confiro as raízes complexas?
Eleve cada raiz ao cubo e compare com k. Para x³ = 8, as raízes -1 + i√3 e -1 - i√3 dão 8 quando elevadas ao cubo, assim como a raiz real 2.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"k":8}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"k": 8
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"k": 8
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"k":8}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"k":8}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"k": 8
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.solve_cube_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Um k inválido ou ausente falha com invalid_input e não é cobrado.
O que x³ = k significa e como surgem as três raízes cúbicas
Expandir os produtos produz as formas retangulares devolvidas por este endpoint: a raiz real r com parte imaginária zero, e o par conjugado menos r sobre dois mais ou menos i vezes r vezes a raiz quadrada de três sobre dois.
Contrato de entrada, forma da resposta e comportamento de erro
Exemplo: k igual a oito produz a raiz real dois e o par complexo menos um mais ou menos i vezes a raiz quadrada de três, porque dois ao cubo é oito e cada raiz complexa também eleva ao cubo a oito. Exemplo: k igual a menos oito produz a raiz real menos dois e o par complexo um mais ou menos i vezes a raiz quadrada de três. Envie por POST um corpo JSON com um único campo numérico finito obrigatório chamado k, o lado direito de x ao cubo igual a k. O valor pode chegar como número JSON ou como string numérica; campos ausentes, strings vazias, NaN e Infinity falham com invalid_input nomeando o campo, e essas falhas não são cobradas. Em caso de sucesso o corpo devolve o k limpo, uma string de equação da forma x^3 igual a k para exibição, real_root como a raiz cúbica real única arredondada a doze casas significativas decimais para goldens estáveis entre runtimes, complex_roots como um array de dois objetos com campos re e im ordenados de modo que o membro com parte imaginária não negativa venha primeiro, roots como os três números retangulares com a raiz real primeiro e depois o par complexo, e uma string de fórmula que reexpressa a identidade das raízes cúbicas da unidade. Combine as raízes numéricas com o seu próprio passo de verificação que multiplique cada complexo por si mesmo duas vezes se precisar de uma checagem independente; este endpoint resolve e formata, não emite prosa passo a passo além do campo de fórmula nem traça as raízes no plano complexo.
Onde uma API de equação cúbica pura rende
Como a implementação é análise pura de tier A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado de US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída.
Casos de integração
Correção automática em exames e LMS
Corrija itens de equação cúbica pura com um oráculo determinístico que devolve pares re/im ordenados e rejeita k não finito como invalid_input.
Perguntas técnicas
Como resolvo x³ = k para as três raízes?
Envie um número finito k. A API devolve a raiz cúbica real r = ∛k e as duas raízes complexas r·ω e r·ω² em forma retangular, onde ω = −1/2 ± i√3/2.
Qual entrada é rejeitada?
Ausência de k, strings vazias, valores não numéricos, NaN e Infinity falham com invalid_input e não são cobrados.
Quanto custa o resolvedor da equação cúbica pura?
A ferramenta do navegador é gratuita. As solicitações à API usam saldo pré-pago do KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.