Cúbica deprimida
t³ − 3t + 2 = 0 tem as raízes 1, 1 e −2, porque se fatora como (t − 1)²(t + 2): informe p e q e obtenha as três raízes com o discriminante e os valores intermediários de Cardano. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Potência (W)
- -3
- Q
- 2
- Equação
- t^3 + (-3)*t + (2) = 0
- Discriminante
- 0
- Tipo de raiz
- multiple_real
- Número de raízes reais
- 3
Uma cúbica deprimida é uma cúbica mônica que já perdeu o termo quadrático, escrita como t ao cubo mais p t mais q igual a zero. Estudantes que encontram o casus irreducibilis, tutores que montam demos do resolvente passo a passo e autores de notebooks que já deprimiram um polinômio à mão precisam das três raízes—reais ou complexas—sem reabrir um sistema simbólico completo.
O que é uma cúbica deprimida e como funciona o resolvente de Cardano
Parta da cúbica mônica x ao cubo mais A x ao quadrado mais B x mais C igual a zero. A substituição x igual a t menos A sobre três cancela o termo quadrático e produz a forma deprimida t ao cubo mais p t mais q igual a zero, onde p e q são polinômios explícitos em A, B e C.
O método de Cardano não adivinha raízes: introduz números auxiliares u e v tais que t igual a u mais v e três u v igual a menos p, o que força u ao cubo e v ao cubo a serem os dois valores menos q sobre dois mais ou menos a raiz quadrada do discriminante Delta igual a (q sobre dois) ao quadrado mais (p sobre três) ao cubo.
Quando Delta é positivo há uma raiz real e um par conjugado complexo; quando Delta é zero há raízes reais múltiplas; quando Delta é negativo—o casus irreducibilis—as três raízes são reais e as raízes cúbicas clássicas tornam-se complexas embora as respostas sejam reais, de modo que este resolvedor passa à forma trigonométrica equivalente com duas vezes a raiz quadrada de menos p sobre três vezes o cosseno de uma expressão arccos sobre três.
As três raízes sempre existem no plano complexo: t zero é u mais v, e as outras duas emparelham u e v com as raízes cúbicas não reais da unidade omega e omega ao quadrado.
Contrato de entrada, formato da resposta e erros
O objeto resolvent expõe u, v e delta para que o cliente mostre as raízes cúbicas intermediárias de Cardano sem recalculá-las. Os campos method e formula reiteram que o algoritmo é Cardano com a identidade clássica do discriminante. Exemplo: p igual a menos três e q igual a dois produz Delta zero, raízes reais múltiplas em dois, menos um e menos um, coincidindo com a fatoração (t menos um) ao quadrado vezes (t mais dois).
Outra checagem comum é p igual a zero e q igual a menos oito, que recupera a raiz cúbica real dois e as duas raízes cúbicas complexas de oito.
Onde resolver uma cúbica deprimida ajuda
Cursos de álgebra que ensinam Cardano após completar o quadrado em cúbicas precisam de um oráculo determinístico que já assume a forma deprimida, para que os alunos foquem no resolvente e nos casos do discriminante em vez do deslocamento de depressão. Geradores de provas e plugins LMS corrigem lições sobre t ao cubo mais p t mais q sem aceitar uma cúbica geral de quatro coeficientes como substituto, porque o objetivo de aprendizagem é o caso deprimido em si.
Notebooks de álgebra computacional muitas vezes deprimem uma cúbica à mão ou com um script curto e depois querem apenas o ramo Cardano exercitado com raízes complexas em ordem fixa para testes de snapshot. Sites de conteúdo que ranqueiam por resolvedor de cúbica deprimida ganham uma ferramenta gratuita no navegador cujo módulo puro coincide byte a byte com a automação paga, capturando intenção de busca que uma landing de equação cúbica geral não cobre por completo. Validação falha não consome saldo.
Mantenha requisições pequenas, fixe em testes as raízes e o resolvente limpos, e obtenha raízes Cardano reproduzíveis para ensino, correção e edge workers sem montar uma pilha simbólica completa própria.
Casos de uso
Correção LMS de cúbicas deprimidas
Corrija automaticamente lições que já deprimiram uma cúbica, rejeitando coeficientes inválidos e devolvendo ordem estável de raízes para corretoras por snapshot.
Notebooks após depressão manual
Resolva só a etapa deprimida em scripts que já fazem x=t−b/(3a), sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
O que é o discriminante de uma cúbica deprimida?
Δ = (q/2)² + (p/3)³. Δ positivo: uma raiz real e duas complexas conjugadas; zero: raízes reais múltiplas; negativo: três raízes reais distintas (casus irreducibilis).
As raízes complexas são devolvidas?
Sim. Cada chamada devolve três raízes como pares {re, im}.
O que é uma cúbica deprimida?
É uma cúbica com coeficiente líder 1 e sem termo ao quadrado, da forma t³ + pt + q igualada a zero. Qualquer cúbica geral chega a essa forma com um deslocamento da variável, e o método de Cardano trabalha sobre ela.
Quais são as raízes de t³ − 3t + 2 = 0?
São 1, 1 e −2. O discriminante vale 0, o que indica uma raiz real repetida, e a equação se fatora como (t − 1)²(t + 2).
O que é o casus irreducibilis?
É o caso de discriminante negativo: as três raízes são reais, mas as raízes cúbicas de Cardano passam por números complexos. O resolvedor muda para uma forma trigonométrica equivalente, com cossenos, para chegar direto às três raízes reais.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":-3,"q":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": -3,
"q": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": -3,
"q": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":-3,"q":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":-3,"q":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"p": -3,
"q": 2
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.depressed_cubic",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Toda cúbica geral ax³+bx²+cx+d=0 reduz-se a essa forma pelo deslocamento x igual a t menos b sobre três a, de modo que o ataque clássico de Cardano vive na equação deprimida. Este resolvedor de cúbica deprimida aceita coeficientes finitos p e q, forma o discriminante Delta igual a (q sobre dois) ao quadrado mais (p sobre três) ao cubo, constrói as raízes cúbicas do resolvente de Cardano u e v, e devolve as três raízes como pares complexos junto com o tipo de raiz e o payload do resolvente.
Contrato de entrada, formato da resposta e erros
Envie por POST um corpo JSON com dois números finitos obrigatórios: p, o coeficiente de t, e q, o termo constante, para a equação t ao cubo mais p t mais q igual a zero. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; campos ausentes, strings vazias, valores não finitos e corpos que não são objeto falham com invalid_input nomeando o problema, e essas falhas não são cobradas. Combine a resposta com seu próprio plot ou prosa de passos se precisar de gráficos; este endpoint resolve só para t e não emite gráficos nem lições multipágina além dos campos formula e resolvent.
Onde uma API Cardano de cúbica deprimida se paga
Modelos de engenharia e física que já trabalham em coordenada deslocada onde o termo quadrático sumiu—expansões de campo médio, polinômios característicos reduzidos—podem chamar uma API parse pequena ao preço base publicado US$ 0,002 por item bem-sucedido sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Casos de integração
Demos de Cardano e resolvente em sala
Permita que os alunos enviem p e q para t³+pt+q=0 e comparem as três raízes ordenadas e o par resolvente com os passos de Cardano feitos à mão.
Perguntas técnicas
Como resolver a cúbica deprimida t³ + p t + q = 0?
Envie números finitos p e q. A API forma Δ=(q/2)²+(p/3)³, constrói os resolventes de Cardano u e v, e devolve três raízes complexas mais root_type e o objeto resolvent.
Isto resolve uma cúbica geral ax³+bx²+cx+d=0?
Não. Este endpoint assume a forma deprimida t³+pt+q=0. Deprima primeiro com x=t−b/(3a), ou use um resolvedor de equação cúbica geral se precisar do problema de quatro coeficientes.
Quanto custa o resolvedor de cúbica deprimida?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.