المكعب المنخفض
جذور t³ − 3t + 2 = 0 هي 1 و1 و−2، لأنها تتحلل إلى (t − 1)²(t + 2): أدخل p وq لتحصل على الجذور الثلاثة مع المميز وقيم كاردانو الوسيطة. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- القدرة (W)
- -3
- Q
- 2
- المعادلة
- t^3 + (-3)*t + (2) = 0
- المميِّز
- 0
- نوع الجذر
- multiple_real
- عدد الجذور الحقيقية
- 3
المعادلة التكعيبية المنخفضة هي معادلة تكعيبية أحادية الحد الأعلى فقدت بالفعل الحد التربيعي، وتُكتب على صورة t مكعبًا زائد p t زائد q يساوي صفرًا. يحتاج الطلاب الذين يواجهون casus irreducibilis، والمعلّمون الذين يبنون عروضًا خطوة بخطوة للمُحِلّ، ومؤلفو الدفاتر الذين خفّضوا متعددة حدود يدويًا، إلى الجذور الثلاثة—حقيقية أو عقدية—دون إعادة فتح منظومة رمزية كاملة.
ما المعادلة التكعيبية المنخفضة وكيف يعمل مُحِلّ كاردانو
ابدأ من المعادلة التكعيبية الأحادية x مكعبًا زائد A x مربعًا زائد B x زائد C يساوي صفرًا. التعويض x يساوي t ناقص A على ثلاثة يلغي الحد التربيعي وينتج الشكل المنخفض t مكعبًا زائد p t زائد q يساوي صفرًا، حيث p و q كثيرتا حدود صريحتان في A و B و C.
لا يخمن أسلوب كاردانو الجذور: يُدخل عددين مساعدين u و v بحيث t يساوي u زائد v وثلاثة u v يساوي ناقص p، فيُجبر u مكعبًا و v مكعبًا على أن يكونا القيمتين ناقص q على اثنين زائد أو ناقص الجذر التربيعي للمميّز Delta يساوي (q على اثنين) مربعًا زائد (p على ثلاثة) مكعبًا.
عندما يكون Delta موجبًا يوجد جذر حقيقي واحد وزوج عقدي مترافق؛ وعندما يكون صفرًا توجد جذور حقيقية متعددة؛ وعندما يكون سالبًا—casus irreducibilis—تكون الجذور الثلاثة حقيقية وتصير الجذور التكعيبية الكلاسيكية عقدية رغم أن الإجابات حقيقية، فيتحوّل هذا الحلّل إلى الصورة المثلثية المكافئة بمرّتين الجذر التربيعي لسالب p على ثلاثة مضروبًا في جيب التمام لتعبير arccos على ثلاثة. توجد الجذور الثلاثة دائمًا في المستوى العقدي: t صفر يساوي u زائد v، والاثنان الآخران يقرنان u و v بجذري وحدة تكعيبيين غير حقيقيين omega و omega مربعًا.
الإبلاغ عن الثلاثيات العقدية المرتبة وعن زوج المُحِلّ يجعل الأسلوب قابلًا للفحص في التدريس وفي اختبارات الانحدار التي تثبّت كميات وسيطة لا الجذور النهائية فقط.
عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الأخطاء
يعرض كائن resolvent القيم u و v و delta ليُظهر العملاء جذور كاردانو التكعيبية الوسيطة دون إعادة حسابها. يعيد الحقلان method و formula التأكيد أن الخوارزمية كاردانو بهوية المميّز الكلاسيكية. مثال: p يساوي ناقص ثلاثة و q يساوي اثنين يعطي Delta صفرًا وجذورًا حقيقية متعددة عند اثنين وناقص واحد وناقص واحد، مطابقة للتفكيك (t ناقص واحد) مربعًا في (t زائد اثنين).
فحص شائع آخر هو p يساوي صفرًا و q يساوي ناقص ثمانية، فيسترجع الجذر التكعيبي الحقيقي اثنين والجذرين التكعيبيين العقديين لثمانية. اقرن الاستجابة برسمك أو نص خطواتك إن احتجت رسومًا؛ فهذا الطرف يحلّ لـ t فقط ولا يُصدر رسومًا ولا دروسًا متعددة الصفحات خارج حقلي formula و resolvent.
أين تُثبت واجهة Cardano للمكعب المنخفض جدواها
تحتاج مقررات الجبر التي تدرّس كاردانو بعد إكمال المربع للتكعيبيات إلى أوراكل حتمي يفترض الشكل المنخفض أصلًا، فيركّز المتعلمون على المُحِلّ وحالات المميّز بدل إزاحة الخفض. تُصحّح مولّدات الامتحانات وإضافات LMS واجبات t مكعبًا زائد p t زائد q دون قبول تكعيبية عامة بأربعة معاملات كبديل، لأن هدف التعلّم هو الحالة المنخفضة نفسها. غالبًا ما تخفّض دفاتر الجبر الحاسوبي تكعيبية يدويًا أو بسكربت قصير ثم تريد فرع كاردانو فقط مع جذور عقدية بترتيب ثابت لاختبارات اللقطات.
تكتسب مواقع المحتوى التي تتصدّر لعبارة حاسبة المكعب المنخفض أداة مجانية في المتصفح يطابق مكوّنها النقي مسار الأتمتة المدفوع بايتًا ببايت، ملتقطة نية بحث لا تغطيها صفحة معادلة تكعيبية عامة بالكامل. لا يستهلك فشل التحقق الرصيد. أبقِ الطلبات صغيرة وثبّت الجذور والمُحِلّ المنظّفين في الاختبارات، فتحصل على جذور كاردانو قابلة لإعادة الإنتاج للتدريس والتصحيح وعمال الحافة دون إقامة مكدس رياضيات رمزية كامل خاص بك.
حالات الاستخدام
تصحيح LMS للمكعبات المنخفضة
صحّح تلقائيًا واجبات خُفّضت مسبقًا، رافضًا المعاملات غير الصالحة ومعيدًا ترتيب جذور مستقرًا لمصححات اللقطات.
دفاتر بعد الخفض اليدوي
حلّ مرحلة الخفض فقط في سكربتات تنفّذ x=t−b/(3a) بنفسها، دون استيراد مكتبة جبر حاسوبي كاملة.
الأسئلة الشائعة
ما مميّز المكعب المنخفض؟
Δ = (q/2)² + (p/3)³. الموجب: جذر حقيقي وزوجان عقديان مترافقان؛ الصفر: جذور حقيقية متعددة؛ السالب: ثلاثة جذور حقيقية متمايزة (casus irreducibilis).
هل تُعاد جذور عقدية؟
نعم. كل استدعاء يعيد ثلاثة جذور كأزواج {re, im}.
ما المعادلة التكعيبية المنخفضة؟
هي معادلة تكعيبية معاملها الرئيس 1 ولا تحتوي حدًا تربيعيًا، على الصورة t³ + pt + q مساويًا للصفر. ويمكن تحويل أي معادلة تكعيبية عامة إليها بإزاحة المتغير، وعليها تعمل طريقة كاردانو.
ما جذور المعادلة t³ − 3t + 2 = 0؟
جذورها 1 و1 و−2. والمميز يساوي 0، مما يدل على جذر حقيقي مكرر، وتتحلل المعادلة إلى (t − 1)²(t + 2).
ما الحالة غير القابلة للاختزال؟
هي حالة المميز السالب: تكون الجذور الثلاثة حقيقية، لكن الجذور التكعيبية في طريقة كاردانو تمر بأعداد عقدية. وتنتقل الحاسبة عندئذ إلى صيغة مثلثية مكافئة بجيب التمام لتصل إلى الجذور الحقيقية مباشرة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":-3,"q":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": -3,
"q": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": -3,
"q": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":-3,"q":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":-3,"q":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"p": -3,
"q": 2
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.depressed_cubic",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
كل معادلة تكعيبية عامة ax³+bx²+cx+d=0 تُختزل إلى هذا الشكل بالإزاحة x يساوي t ناقص b على ثلاثة a، ولذلك يعيش هجوم كاردانو الكلاسيكي على المعادلة المنخفضة. يقبل هذا الحلّل للمكعب المنخفض معاملات منتهية p و q، ويكوّن المميّز Delta يساوي (q على اثنين) مربعًا زائد (p على ثلاثة) مكعبًا، ويبني جذري المُحِلّ التكعيبيين لكاردانو u و v، ويعيد الجذور الثلاثة كأزواج عقدية مع نوع الجذر وحمولة المُحِلّ. يغذّي نفس مكوّن parse النقي الأداة المجانية في المتصفح ومسار API المدفوع مسبقًا، فلا تختلف فحوصات الواجبات والأتمتة حول حالة حدّية للفاصلة العائمة.
عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الأخطاء
أرسل جسم JSON عبر POST برقمين منتهيين إلزاميين: p معامل t، و q الحد الثابت، للمعادلة t مكعبًا زائد p t زائد q يساوي صفرًا. يجوز أن يصل كل حقل كرقم JSON أو كسلسلة رقمية؛ والحقول الناقصة والسلاسل الفارغة والقيم غير المنتهية والأجسام غير الكائنات تفشل بـ invalid_input مع تسمية المشكلة، ولا تُحاسب تلك الإخفاقات.
أين تُثبت واجهة Cardano للمكعب المنخفض جدواها
يمكن لنماذج الهندسة والفيزياء التي تعمل أصلًا في إحداثي مزاح اختفى فيه الحد التربيعي—توسعات حقل متوسط ومتعددات حدود مميزة مختزلة—استدعاء API parse صغيرة بالسعر الأساسي المنشور $0.002 لكل عنصر ناجح دون رموز نموذج ودون شبكة صادرة.
حالات التكامل
عروض كاردانو والمُحِلّ في الصف
اسمح للطلاب بإرسال p و q لـ t³+pt+q=0 ومقارنة الجذور الثلاثة المرتبة وزوج المُحِلّ بخطوات كاردانو اليدوية.
أسئلة تقنية
كيف أحلّ المكعب المنخفض t³ + p t + q = 0؟
أرسل عددين منتهيين p و q. تكوّن API المميّز Δ=(q/2)²+(p/3)³، وتبني مُحِلّي كاردانو u و v، وتعيد ثلاثة جذور عقدية مع root_type وكائن resolvent.
هل يحلّ تكعيبية عامة ax³+bx²+cx+d=0؟
لا. يفترض هذا الطرف الشكل المنخفض t³+pt+q=0. اخفض أولًا بـ x=t−b/(3a)، أو استخدم حلّال معادلة تكعيبية عامة لمسألة المعاملات الأربعة.
كم تكلفة حلّال المكعب المنخفض؟
أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ ولا تُحاسب المدخلات غير الصالحة.