ForHosting KIT · الرياضيات

قاعدة إشارات ديكارت

يوجد 2 من تغيّرات الإشارة في x² − 3x + 2، لذا لها 2 أو 0 من الجذور الحقيقية الموجبة ولا جذور سالبة: أدخل المعاملات من أعلى درجة إلى أدناها لتحصل على كل الأعداد الممكنة قبل البحث عن الجذور. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

المعاملات: 1, ‎-3, 2

تحصل على

الدرجة: 2
كثير الحدود: x^2 - 3x + 2
تغيرات الإشارة الموجبة: 2
تغيرات الإشارة السالبة: 0

قاعدة إشارات ديكارت هي المرشّح الكلاسيكي الأول قبل البحث عن جذور كثيرة الحدود: من إشارات المعاملات وحدها تحدّ عدد الجذور الحقيقية الموجبة والسالبة التي يمكن أن تملكها كثيرة حدود أحادية المتغيّر. يتعلّمها الطلاب في ما قبل التفاضل والجبر؛ ويستخدمها مدرّبو المسابقات لاستبعاد أعداد جذور مستحيلة؛ وتستعملها نصوص الدفاتر كفحص مسبق رخيص قبل الحلّال العددية. تقبل حاسبة قاعدة إشارات ديكارت هذه المعاملات من أعلى درجة أولًا، وتتجاهل الأصفار الوسطى عند العدّ، وتبني متتالية معاملات p عند سالب x لجانب الجذور السالبة، وتعيد كلا مجموعَي تغيّرات الإشارة مع القوائم الكاملة للأعداد المقبولة (k، ثم k ناقص اثنين، حتى صفر أو واحد).

ماذا تقول قاعدة إشارات ديكارت عن الجذور الحقيقية

امسح قائمة المعاملات من أعلى درجة إلى الثابت وعدّ كل مرة تتغيّر فيها إشارة معاملات متتالية غير صفرية؛ سمِّ هذا العدد k. تنصّ قاعدة ديكارت على أن عدد الجذور الحقيقية الموجبة لـ p، مع التعداد بالتعدّد، يساوي k أو يقلّ عن k بعدد زوجي موجب. بعبارة أخرى الأعداد المقبولة هي k، k ناقص اثنين، k ناقص أربعة، وهكذا حتى صفر أو واحد بحسب زوجية k.

تُتخطّى معاملات الصفر عند مسح الإشارات: القوة الناقصة لا تُنشئ تغيّرًا ولا تلغيه بنفسها. للجذور الحقيقية السالبة طبّق الإجراء نفسه على كثيرة الحدود q من x تساوي p عند سالب x. توسيع p عند سالب x يضرب كل حد ذي درجة فردية في سالب واحد، فيتناوب تمامًا إشارات المعاملات الأصلية من أعلى درجة بحسب زوجية كل قوة.

إذا امتلكت المتتالية المحوّلة m من تغيّرات الإشارة، فإن عدد الجذور الحقيقية السالبة هو m أو m ناقص اثنين وهكذا. القاعدة لا تخترع جذورًا ولا تدّعي التفرّد: هي تضيّق فضاء البحث فقط. تأتي الجذور المركّبة أزواجًا مترافقة للمعاملات الحقيقية، لذلك يكون الطرح دائمًا بعدد زوجي.

ينفّذ هذا الطرف تمامًا ذلك البيان الكلاسيكي—بلا إيجاد تقريبي للجذور، ولا تحليل إلى عوامل، ولا خطوات نيوتن بفاصلة عائمة—فتكون الإجابة قائمة منتهية منفصلة من الأعداد الممكنة، لا صفرًا عدديًا مخمّنًا.

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وأمثلة محلولة

أصفار الوسط مقبولة وتمثّل قوى ناقصة. مثال: المعاملات واحد، سالب ثلاثة، اثنان لـ x تربيع ناقص ثلاثة x زائد اثنين تعطي تغيّرين موجبين فالجذور الموجبة الممكنة اثنان أو صفر، وصفر تغيّرات سالبة فالجذور السالبة الممكنة صفر فقط. مثال: واحد، سالب واحد، واحد، سالب واحد لـ x تكعيب ناقص x تربيع زائد x ناقص واحد تعطي ثلاثة تغيّرات موجبة (ثلاث جذور موجبة ممكنة أو واحدة) وصفر تغيّرات سالبة.

المصفوفات الفارغة والمدخلات غير المنتهية والثابت الصرف بعد القصّ تفشل في التحقق ولا تُفوتر. اقرن الأعداد بنظرية الجذر النسبي أو حلّال عددي عندما تحتاج قيم الجذور الفعلية؛ هذه القدرة تجيب فقط عن سؤال تغيّرات الإشارة.

أين تفيد واجهة قاعدة إشارات ديكارت

تعرض الفصول ومنصات التدريس حاسبة لقاعدة إشارات ديكارت حتى يتحقق المتعلّمون من واجبات تغيّر الإشارة دون قلب إشارة يدويًا على p عند سالب x. تحتاج مولّدات الاختبارات أوراكلًا حتميًا يعلّم قائمة الطرح الزوجي صحيحة حتى لو كتب الطالب العدد الأقصى فقط. يستفيد مدرّبو المسابقات ومواقع المناهج التي تستهدف عبارة البحث حاسبة قاعدة إشارات ديكارت من ودجة حية يطابق مسار متصفحها المجاني مسار الأتمتة المدفوعة بايتًا ببايت على الوحدة النقية نفسها.

تستخدم دفاتر الهندسة الحدّ كفحص مسبق رخيص قبل موجِد جذور لكثيرة حدود أثقل: إن سمحت القاعدة بصفر جذور موجبة فلا حاجة لمسح المحور الموجب أولًا. التحقق الفاشل لا يستهلك الرصيد. أبقِ قوائم المعاملات معتدلة، وثبّت في الاختبارات مصفوفات الجذور الممكنة المتوقعة، فتحصل على إجابات تعليمية وأتمتة قابلة لإعادة الإنتاج دون إقامة نظام جبر حاسوبي لمسح إشارات تستخدمه الكتب منذ قرون.

حالات الاستخدام

فحوصات الفصل والواجبات

اسمح للطلاب بإرسال قوائم معاملات والتحقق من أعداد تغيّرات الإشارة الموجبة والسالبة مع القوائم الكاملة لأعداد الجذور المقبولة مقابل طرائق الكتاب.

تصحيح تلقائي للاختبارات وLMS

صحّح بنود قاعدة ديكارت بأوراكل حتمي يقبل أي طرح زوجي من أقصى مجموع تغيّرات الإشارة، لا الأقصى وحده.

فحص مسبق قبل إيجاد الجذور عدديًا

حدّ بكلفة منخفضة الجذور الحقيقية الموجبة والسالبة الممكنة في الدفاتر والأنابيب قبل تشغيل حلّال كامل لجذور كثيرات الحدود.

الأسئلة الشائعة

كيف تُعامل معاملات الصفر؟

تُتخطّى أصفار الوسط عند عدّ تغيّرات الإشارة (القوة الناقصة لا تفرض تغيّرًا). تُحذف أصفار البداية للدرجة؛ وتُرفض قائمة كلّها أصفار كمدخل غير صالح.

هل تجد الجذور الحقيقية الفعلية؟

لا. قاعدة ديكارت تحدّ فقط كم جذرًا حقيقيًا موجبًا وسالبًا ممكنًا. استخدم موجِد جذور أو نظرية الجذر النسبي عندما تحتاج قيمًا صريحة.

كيف تعمل قاعدة إشارات ديكارت؟

اقرأ المعاملات من أعلى درجة إلى أدناها وعدّ كل انتقال بين الموجب والسالب متجاوزًا الأصفار. في x² − 3x + 2 تكون الإشارات موجب ثم سالب ثم موجب، أي 2 من التغيرات، فتكون الجذور الموجبة 2 أو 0.

لماذا ينقص العدد الممكن بمقدار اثنين كل مرة؟

مع المعاملات الحقيقية تأتي الجذور العقدية في أزواج مترافقة، فلا تختفي الجذور الحقيقية إلا مثنى مثنى. وتسير القائمة من k إلى k − 2 وهكذا حتى 0 أو 1.

كيف تُعدّ الجذور السالبة؟

طبّق العدّ نفسه على p(−x)، الذي يقلب إشارة كل حد ذي درجة فردية. ومن x² − 3x + 2 نحصل على x² + 3x + 2 بلا أي تغيّر في الإشارة، فلا توجد جذور حقيقية سالبة.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/descartes-rule-of-signs

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/descartes-rule-of-signs \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[1,-3,2]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/descartes-rule-of-signs", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      1,
      -3,
      2
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/descartes-rule-of-signs",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        1,
        -3,
        2
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/descartes-rule-of-signs", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[1,-3,2]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/descartes-rule-of-signs", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "coefficients": [
    1,
    -3,
    2
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.descartes_rule_of_signs",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

يشغّل نفس الوحدة النقية ودجة المتصفح المجانية ومسار API، فلا تختلف فحوصات الواجبات والأتمتة أبدًا في حالة الطرح الزوجي.

ماذا تقول قاعدة إشارات ديكارت عن الجذور الحقيقية

اكتب كثيرة حدود حقيقية أحادية المتغيّر على الصورة p من x تساوي a_n x أس n زائد a تحت n ناقص واحد ضرب x أس n ناقص واحد، وصولًا إلى الحد الثابت a_0، مع a_n غير صفر.

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وأمثلة محلولة

أرسل جسم JSON بحقل إلزامي واحد coefficients: مصفوفة غير فارغة من أعداد منتهية من أعلى درجة أولًا، بدرجة واحد على الأقل بعد حذف أصفار البداية. تُقبل الأسماء البديلة coeffs و poly. يجب أن يكون المعامل القائد بعد القصّ غير صفر؛ وتُرفض كثيرة الحدود الصفرية بـ invalid_input. قد يكون كل عنصر عدد JSON أو سلسلة رقمية. عند النجاح يعيد الجسم المعاملات المنظّفة والدرجة، وسلسلة كثيرة حدود مقروءة، و positive_sign_changes و negative_sign_changes كأعداد صحيحة، و possible_positive_roots و possible_negative_roots كمصفوفات تنازلية للأعداد المقبولة، ومعاملات p عند سالب x للمراجعة، و method يساوي descartes_rule_of_signs.

أين تفيد واجهة قاعدة إشارات ديكارت

لأن التنفيذ parse نقي من المستوى A، تكلّف كل مكالمة ناجحة السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج ولا شبكة صادرة.

أسئلة تقنية

كيف تعمل حاسبة قاعدة إشارات ديكارت؟

أرسل المعاملات من أعلى درجة أولًا. تعدّ API تغيّرات الإشارة بين الحدود غير الصفرية لـ p(x) و p(−x)، ثم تعيد كل عدد وقوائم k, k−2, … للجذور الحقيقية الموجبة والسالبة الممكنة (مع التعدّد).

ماذا تعني possible_positive_roots و possible_negative_roots؟

هما كل عدد صحيح غير سالب يساوي عدد تغيّرات الإشارة أو يقلّ عنه بعدد زوجي. لثلاثة تغيّرات القائمة [3, 1]؛ لاثنين [2, 0]. العدد الحقيقي للجذور أحد هذه القيم، وليس بالضرورة الأقصى.

كم تكلفة حاسبة قاعدة إشارات ديكارت؟

أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل مكالمة ناجحة؛ المدخل غير الصالح لا يُفوتر.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ماذا تقول قاعدة إشارات ديكارت عن الجذور الحقيقية

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وأمثلة محلولة

أين تفيد واجهة قاعدة إشارات ديكارت

حالات الاستخدام

فحوصات الفصل والواجبات

تصحيح تلقائي للاختبارات وLMS

فحص مسبق قبل إيجاد الجذور عدديًا

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ماذا تقول قاعدة إشارات ديكارت عن الجذور الحقيقية

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وأمثلة محلولة

أين تفيد واجهة قاعدة إشارات ديكارت

أسئلة تقنية

شكرًا