Regla de los signos de Descartes

La regla de los signos de Descartes es el primer filtro clásico antes de buscar raíces de un polinomio: solo con los signos de los coeficientes acota cuántas raíces reales positivas y cuántas negativas puede tener un polinomio univariado. Los estudiantes la aprenden en precálculo y álgebra; los entrenadores de olimpiadas la usan para descartar conteos imposibles; los guiones de cuaderno la emplean como precomprobación barata antes de resolutores numéricos. Esta calculadora de la regla de los signos de Descartes acepta coeficientes del grado más alto al primero, ignora ceros intermedios al contar, construye la secuencia de coeficientes de p de menos x para el lado de raíces negativas, y devuelve ambos totales de cambios de signo más las listas completas de conteos admisibles (k, k menos dos, hasta cero o uno).

Qué afirma la regla de los signos de Descartes sobre las raíces reales

Recorra la lista de coeficientes desde el grado máximo hasta la constante y cuente cada vez que coeficientes no nulos consecutivos cambian de signo; llame k a ese conteo. La regla de Descartes establece que el número de raíces reales positivas de p, contadas con multiplicidad, es igual a k o es menor que k en un entero par positivo. En otras palabras, los totales admisibles son k, k menos dos, k menos cuatro, y así sucesivamente hasta cero o uno según la paridad de k.

Los coeficientes cero se omiten al escanear signos: una potencia ausente no crea ni destruye un cambio por sí sola. Para raíces reales negativas aplique el mismo procedimiento al polinomio q de x igual a p de menos x. Expandir p de menos x multiplica cada término de grado impar por menos uno, lo que alterna exactamente los signos de los coeficientes originales desde el grado máximo según la paridad de cada potencia.

Si esa secuencia transformada tiene m cambios de signo, el número de raíces reales negativas es m o m menos dos y así sucesivamente. La regla nunca inventa raíces ni afirma unicidad: solo reduce el espacio de búsqueda. Las raíces complejas vienen en pares conjugados con coeficientes reales, por eso la resta es siempre de un número par.

Contrato de entrada, forma de la respuesta y ejemplos resueltos

Los ceros intermedios son válidos y representan potencias ausentes. Ejemplo: coeficientes uno, menos tres, dos para x al cuadrado menos tres x más dos produce dos cambios de signo positivos, así que raíces positivas posibles dos o cero, y cero cambios negativos, así que raíces negativas posibles solo cero. Ejemplo: uno, menos uno, uno, menos uno para x al cubo menos x al cuadrado más x menos uno produce tres cambios positivos (tres o una raíz positiva posible) y cero cambios negativos.

Arrays vacíos, entradas no finitas y una constante pura tras el recorte fallan la validación y no se facturan. Combine los conteos con el teorema de la raíz racional o un resolutor numérico cuando necesite valores de raíz reales; esta capacidad solo responde a la pregunta de cambios de signo.

Dónde le resulta útil la regla de los signos

Aulas y plataformas de tutoría exponen una calculadora de la regla de los signos de Descartes para que el alumnado compruebe deberes de cambios de signo sin invertir a mano un signo en p de menos x. Los generadores de exámenes necesitan un oráculo determinista que marque correcta la lista de restas pares incluso cuando el estudiante solo escribió el máximo.

Los cuadernos de ingeniería usan el acotado como prechequeo barato antes de un buscador de raíces polinómicas más pesado: si la regla permite cero raíces positivas, no hace falta escanear primero el eje positivo. La validación fallida no consume saldo. Mantenga listas de coeficientes modestas, fije en pruebas los arrays de raíces posibles esperados, y obtendrá respuestas educativas y de automatización reproducibles sin montar un sistema de álgebra computacional para un escaneo de signos que los libros usan desde hace siglos.