Règle des signes de Descartes
x² − 3x + 2 présente 2 changements de signe : il a donc 2 ou 0 racines réelles positives et aucune négative. Saisissez les coefficients du plus haut degré au plus bas et obtenez tous les nombres possibles avant de chercher les racines. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Coefficients
- 1, -3, 2
- Degré
- 2
- Polynôme
- x^2 - 3x + 2
- Changements de signe positifs
- 2
- Changements de signe négatifs
- 0
La règle des signes de Descartes est le premier filtre classique avant de chercher les racines d'un polynôme : à partir des seuls signes des coefficients, elle borne le nombre de racines réelles positives et négatives qu'un polynôme univarié peut avoir. Les élèves l'apprennent en précalcul et en algèbre ; les entraîneurs de concours l'utilisent pour écarter des décomptes impossibles ; les scripts de carnet s'en servent comme précontrôle peu coûteux avant les solveurs numériques. Cette calculatrice de la règle des signes de Descartes accepte les coefficients du degré le plus élevé au premier, ignore les zéros intermédiaires au comptage, construit la suite des coefficients de p de moins x pour le côté des racines négatives, et renvoie les deux totaux de changements de signe ainsi que les listes complètes de décomptes admissibles (k, k moins deux, jusqu'à zéro ou un).
Ce que la règle des signes de Descartes dit des racines réelles
Parcourez la liste des coefficients du degré maximal à la constante et comptez chaque fois que des coefficients non nuls consécutifs changent de signe ; appelez ce total k. La règle de Descartes affirme que le nombre de racines réelles positives de p, comptées avec multiplicité, est égal à k ou est inférieur à k d'un entier pair positif. Autrement dit, les totaux admissibles sont k, k moins deux, k moins quatre, et ainsi de suite jusqu'à zéro ou un selon la parité de k.
Les coefficients nuls sont ignorés lors du balayage des signes : une puissance manquante ne crée ni ne détruit un changement à elle seule. Pour les racines réelles négatives, appliquez la même procédure au polynôme q de x égal à p de moins x. Développer p de moins x multiplie chaque terme de degré impair par moins un, ce qui alterne exactement les signes des coefficients d'origine depuis le degré maximal selon la parité de chaque puissance.
Si cette suite transformée a m changements de signe, le nombre de racines réelles négatives est m ou m moins deux et ainsi de suite. La règle n'invente jamais de racines et n'affirme pas l'unicité : elle ne fait que restreindre l'espace de recherche. Les racines complexes viennent par paires conjuguées pour des coefficients réels, d'où une soustraction toujours par un nombre pair.
Ce point d'accès implémente exactement cet énoncé classique—sans recherche approximative de racines, sans factorisation, sans pas de Newton en virgule flottante—de sorte que la réponse est une liste finie discrète de décomptes possibles, non un zéro numérique deviné.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et exemples résolus
Les zéros du milieu sont valides et représentent des puissances manquantes. Exemple : coefficients un, moins trois, deux pour x au carré moins trois x plus deux produit deux changements de signe positifs, donc racines positives possibles deux ou zéro, et zéro changements négatifs, donc racines négatives possibles seulement zéro. Exemple : un, moins un, un, moins un pour x au cube moins x au carré plus x moins un produit trois changements positifs (trois ou une racine positive possible) et zéro changements négatifs.
Tableaux vides, entrées non finies et constante pure après découpe échouent à la validation et ne sont pas facturés. Associez les décomptes au théorème de la racine rationnelle ou à un solveur numérique lorsque vous avez besoin des valeurs de racines ; cette capacité ne répond qu'à la question des changements de signe.
Où la règle des signes est utile
Les salles de classe et plateformes de tutorat exposent une calculatrice de la règle des signes de Descartes pour que les apprenants vérifient les devoirs de changements de signe sans inverser à la main un signe sur p de moins x. Les générateurs d'examens ont besoin d'un oracle déterministe qui valide la liste des soustractions paires même si l'élève n'a écrit que le maximum.
Les carnets d'ingénierie utilisent la borne comme prévol peu coûteux avant un chercheur de racines polynomiales plus lourd : si la règle autorise zéro racine positive, il est inutile de balayer d'abord l'axe positif. Une validation échouée ne consomme pas de solde. Gardez des listes de coefficients modestes, figez dans les tests les tableaux de racines possibles attendus, et vous obtenez des réponses pédagogiques et d'automatisation reproductibles sans déployer un système d'algèbre formelle pour un balayage de signes que les manuels utilisent depuis des siècles.
Cas d’usage
Contrôles en classe et devoirs
Laissez les élèves envoyer des listes de coefficients et vérifier les décomptes de changements de signe positifs et négatifs ainsi que les listes complètes de décomptes de racines admissibles face aux méthodes du manuel.
Notation automatique d'examens et LMS
Notez les items de la règle de Descartes avec un oracle déterministe qui accepte toute soustraction paire du maximum de changements de signe, pas seulement le maximum.
Prévol avant recherche numérique de racines
Bornez à bas coût les racines réelles positives et négatives possibles dans les carnets et pipelines avant d'exécuter un solveur complet de racines polynomiales.
Questions fréquentes
Comment fonctionne la calculatrice de la règle des signes de Descartes ?
Envoyez les coefficients du degré le plus élevé au premier.
Comment les coefficients nuls sont-ils traités ?
Les zéros du milieu sont ignorés au comptage des changements de signe (une puissance manquante n'impose pas de changement). Les zéros de tête sont retirés pour le degré ; une liste entièrement nulle est rejetée comme entrée invalide.
Cela trouve-t-il les racines réelles exactes ?
Non. La règle de Descartes ne fait que borner le nombre de racines réelles positives et négatives possibles. Utilisez un chercheur de racines ou le théorème de la racine rationnelle lorsque vous avez besoin de valeurs explicites.
Pourquoi le nombre possible diminue-t-il de deux en deux ?
Avec des coefficients réels, les racines complexes vont par paires conjuguées : les racines réelles ne peuvent disparaître que deux par deux. La liste va donc de k à k − 2, et ainsi de suite jusqu'à 0 ou 1.
Comment compte-t-on les racines négatives ?
Appliquez le même comptage à p(−x), qui change le signe de chaque terme de degré impair. Pour x² − 3x + 2, on obtient x² + 3x + 2, sans changement de signe : il n'y a aucune racine réelle négative.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/descartes-rule-of-signs \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,-3,2]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/descartes-rule-of-signs", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
-3,
2
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/descartes-rule-of-signs",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
-3,
2
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/descartes-rule-of-signs", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,-3,2]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/descartes-rule-of-signs", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"coefficients": [
1,
-3,
2
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.descartes_rule_of_signs",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce que la règle des signes de Descartes dit des racines réelles
Écrivez un polynôme univarié réel comme p de x égal à a_n x à la n plus a sous n moins un fois x à la n moins un, jusqu'au terme constant a_0, avec a_n non nul.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et exemples résolus
Envoyez un corps JSON avec un champ obligatoire, coefficients : un tableau non vide de nombres finis du degré le plus élevé au premier, degré au moins un après suppression des zéros de tête. Les alias coeffs et poly sont acceptés. Le coefficient dominant après découpe doit être non nul ; le polynôme nul est rejeté avec invalid_input. Chaque entrée peut être un nombre JSON ou une chaîne numérique. En cas de succès, le corps renvoie les coefficients nettoyés et le degré, une chaîne polynomiale lisible, positive_sign_changes et negative_sign_changes comme entiers, possible_positive_roots et possible_negative_roots comme tableaux décroissants de décomptes admissibles, les coefficients de p de moins x pour audit, et method égal à descartes_rule_of_signs.
Où une API de la règle des signes de Descartes est utile
Comme l'implémentation est pure parse de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.
Questions techniques
Que signifient possible_positive_roots et possible_negative_roots ?
Ce sont tous les entiers non négatifs égaux au nombre de changements de signe ou inférieurs d'un nombre pair. Pour trois changements la liste est [3, 1] ; pour deux c'est [2, 0]. Le vrai décompte de racines est l'une de ces valeurs, pas nécessairement le maximum.
Combien coûte la calculatrice de la règle des signes de Descartes ?
L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.