Intervalles de concavité vers le haut

Un graphe deux fois dérivable est concave vers le haut sur un intervalle ouvert lorsque sa dérivée seconde y est strictement positive : la pente croît et la courbe se courbe comme une coupe qui peut retenir de l’eau. Pour un polynôme univarié donné par une liste de coefficients, la dérivée seconde est un autre polynôme que l’on construit avec la seule règle de puissance et que l’on analyse par un tableau de signes classique — sans calculatrice graphique, sans abonnement d’algèbre formelle et sans boîte noire en virgule flottante qui contredirait la factorisation à la main. Ce calculateur d’intervalles de concavité vers le haut accepte les coefficients du degré le plus élevé au plus bas, forme p prime et p seconde, trouve chaque racine réelle distincte de la dérivée seconde, teste les morceaux ouverts de la droite réelle entre ces racines et renvoie les intervalles ouverts où p seconde reste positive, avec des chaînes polynomiales lisibles pour l’affichage en classe.

Ce que signifie concave vers le haut pour un polynôme

Le graphe est concave vers le haut sur un intervalle ouvert I lorsque p seconde de x est strictement supérieure à zéro pour tout x dans I. En une racine isolée de p seconde la dérivée seconde vaut zéro, de sorte que ce point est exclu de tout intervalle ouvert de concavité vers le haut même lorsque le signe est positif des deux côtés (contact de multiplicité paire) ou d’un seul côté (changement de signe de multiplicité impaire, le cadre habituel d’inflexion).

Les racines complexes non réelles de p seconde n’apparaissent jamais dans la liste des coupures car un tableau de signes sur la droite réelle n’utilise que des abscisses réelles. Les polynômes de degré zéro et de degré un ont une dérivée seconde identiquement nulle, donc ils ne sont jamais strictement concaves vers le haut sur un intervalle ouvert et la liste de résultats est vide plutôt qu’inventée.

Le degré deux produit une dérivée seconde constante : si le coefficient dominant est positif, toute la droite réelle est concave vers le haut comme un seul intervalle ouvert de moins l’infini à plus l’infini ; s’il est négatif, la liste est vide. Les degrés plus élevés produisent une p seconde non constante dont les racines réelles partitionnent la droite en un nombre fini de morceaux ouverts que ce solveur étiquette en notation d’intervalles.

Comment le solveur construit le tableau de signes de p″

Après validation d’un tableau de coefficients non vide avec terme dominant non nul, le moteur différencie deux fois dans l’ordre du degré le plus élevé d’abord et nettoie les zéros de tête issus d’annulations exactes. Le polynôme de la dérivée seconde est mis en forme pour l’affichage et, lorsque son degré est au moins un, passé à un pipeline déterministe de racines réelles partagé avec d’autres outils purs de calcul du catalogue.

Lorsque chaque coefficient est proche d’un entier, le théorème des racines rationnelles fournit un ensemble fini de candidats ; les hits sont extraits par division synthétique afin que multiplicités et facteurs résiduels se réduisent vite. Les résidus linéaires se résolvent par division ; les résidus quadratiques utilisent la formule du discriminant et ne gardent que les racines réelles.

Les degrés résiduels plus élevés sont isolés sans bibliothèques externes en localisant récursivement les points critiques du résidu, en appliquant une borne de magnitude de Cauchy, en bissectant les intervalles à changement de signe et en polissant avec Newton jusqu’à ce que résidu et pas tombent sous des seuils epsilon stricts. Les racines réelles distinctes triées deviennent les points de rupture du tableau de signes.

Chaque morceau ouvert — de moins l’infini à la première racine, entre racines consécutives et de la dernière racine à plus l’infini — est testé en un milieu (ou un pas unitaire au-delà d’une extrémité non bornée). Les morceaux où p seconde s’évalue strictement positive sont émis comme intervalles ouverts avec extrémité gauche, extrémité droite et une notation compacte telle que (0, +∞). Les racines elles-mêmes ne sont jamais incluses car ici la concavité vers le haut signifie une dérivée seconde strictement positive.