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上に凸な区間の計算機

x³ − 3xの第二導関数は6xなので、グラフがカップ形（下に凸）になるのは(0, +∞)です。係数を入れるだけで、二つの導関数と、第二導関数が正になるすべての開区間が分かります。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

係数: 1, 0, -3, 0

結果

次数: 3
多項式: x^3 - 3x
1次導関数の係数: 3, 0, -3
1次導関数: 3x^2 - 3

二回微分可能なグラフは、開区間上で二階導関数がそこで厳密に正のとき上に凸です。傾きは増加し、曲線は水を保てる杯のように曲がります。係数リストで与えられた一変数多項式では、二階導関数はべき乗則だけで構成できる別の多項式であり、古典的な符号表で解析できます。グラフ電卓も数式処理の契約も、手計算の因数分解と食い違う浮動小数点のブラックボックスも不要です。この上に凸な区間の計算機は、最高次から順の係数を受け取り、p′ と p″ を構成し、二階導関数の相異なる実根をすべて求め、それらの根の間の実数直線の開区間を検査し、p″ が正のままである開区間を返します。教室表示向けの読みやすい多項式文字列も付けます。宿題確認、チュータリング基盤、試験生成器、軽い工学ノートは同じ係数に同じ決定的な答えを必要とします。

多項式における上に凸の意味

べき乗則で二回微分します。開区間 I 上でグラフが上に凸であるのは、I 内のすべての x で p″(x) が厳密に 0 より大きいときです。p″ の孤立した根では二階導関数は 0 なので、符号が両側で正（偶数重根の接触）でも片側だけ正（奇数重根の符号変化、通常の変曲点の設定）でも、その点は上に凸の開区間から除外されます。

p″ の複素非実根は切断一覧に現れません。実数直線上の符号表は実の横座標だけを使うからです。次数 0 と 1 の多項式は二階導関数が恒等的に 0 なので、どの開区間でも厳密に上に凸ではなく、結果リストは空になります。

次数 2 では二階導関数は定数です。先頭係数が正なら実数全体がマイナス無限大からプラス無限大までの一つの開区間として上に凸、負ならリストは空です。より高い次数では非定数の p″ が生じ、その実根が直線を有限個の開片に分割し、本ソルバーが区間記法でラベル付けします。

ソルバーが p″ の符号表を組み立てる方法

空でない係数配列と非零の先頭項を検証したあと、エンジンは最高次優先の順で二回微分し、正確な相殺による先頭ゼロを取り除きます。二階導関数の多項式は表示用に整形され、次数が 1 以上なら、カタログ内の他の純粋な微積分ツールと共有する決定的な実根パイプラインに渡されます。

すべての係数が整数に近いとき、有理根定理が有限の候補集合を与え、ヒットは組立除法で剥がされ、重根と残余因子が素早く縮みます。一次の残余は除法で解き、二次の残余は判別式公式を使い実根だけを残します。

より高い残余次数は外部ライブラリなしで、残余の臨界点を再帰的に求め、Cauchy の大きさの境界を適用し、符号変化区間を二分し、Newton で磨いて残余と歩幅が厳しいイプシロン閾値未満になるまで孤立させます。並べ替えられた相異なる実根が符号表の区切り点になります。

マイナス無限大から最初の根、連続する根の間、最後の根からプラス無限大までの各開片を中点（または非有界端を超える単位ステップ）で検査します。p″ が厳密に正と評価される片は、左端点・右端点と (0, +∞) のような簡潔な記法付きの開区間として出力されます。根そのものは含めません。

ここでの上に凸は厳密に正の二階導関数を意味するからです。

入力のしかたと結果の読み方

別名 coeffs も便宜上受け付けます。例：1、0、−3、0 は x の 3 乗マイナス 3x を表し、二階導関数は 6x で、ちょうど開半直線 (0, +∞) で正です。Maxima やローカル NumPy スタックを入れずに、宿題の単発確認や講義デモには無料のブラウザツールをお使いください。

結果は完全に決定的で、継続的インテグレーションのフィクスチャに固定しても安全です。検証失敗は残高を消費しません。曲線と凹凸領域のスケッチが必要なら、ご自身のプロッタに区間リストを組み合わせてください。

活用例

微積分の宿題と凹凸の確認

学習者は多項式の係数を入力し、二階導関数と符号表による手計算に対して上に凸の開区間を検証します。

試験バンクと LMS 自動採点

既知の凹凸区間を持つ三次・四次式を生成し、脆い文字列一致ではなくこの決定的な p″(x)>0 オラクルに対して提出を採点します。

ノートブックと軽量設計スクリプト

完全な数式処理パッケージをパイプラインに引き込まずに、校正やコストモデルの低次応答曲線上で杯状の領域を特定します。

よくある質問

多項式の上に凸な区間はどのように求めますか？

最高次優先の係数を送ってください（例：x³ − 3x なら [1, 0, -3, 0]）。

上に凸とは何を意味しますか？

開区間上で二階導関数が厳密に正のとき、グラフは上向きに曲がり（杯のように）、一階導関数はそこで増加します。

なぜ p″ の根は区間から除外されますか？

ここでの上に凸は p″(x) > 0 を厳密に意味します。根では p″ は 0 なので、それらの横座標は開区間の端点であり、結果の内部点にはなりません。

一次式や定数多項式はどうなりますか？

二階導関数は恒等的に 0 なので、厳密に正になることはありません。

二次式の場合はどうなりますか？

第二導関数は定数になります。最高次の係数が正なら実数全体が一つの区間（マイナス無限大からプラス無限大）として返り、負なら区間は一つもありません。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[1,0,-3,0]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      1,
      0,
      -3,
      0
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        1,
        0,
        -3,
        0
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[1,0,-3,0]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "coefficients": [
    1,
    0,
    -3,
    0
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.concave_up_intervals",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

多項式における上に凸の意味

多項式を p(x) が a_n x の n 乗に下位の項と定数項 a_0 を加えたものと書いてください。各 a_k x の k 乗は k a_k x の k マイナス 1 乗になり、さらに二階導関数を得ます。

入力契約、応答形、API の位置づけ

有限数の必須 coefficients 配列を最高次優先で JSON 本体として送ってください。成功時の応答は、清掃済み係数、degree、読みやすい多項式文字列、一階・二階導関数の係数リストと表示文字列、二階導関数の並べ替えられた実根、left・right・notation フィールドの intervals 配列、interval_count、UI ラベル用の一行 formula 見出しを返します。欠落フィールド、非有限値、先頭係数 0、安全上限を超える次数は invalid_input で失敗し課金されません。チュータリング基盤、コード評価サンドボックス、カリキュラム生成器、ノートブックのパイプラインが前払い KIT 残高の下で安定した契約を必要とするときは API をお使いください。成功 1 件あたり $0.002 です。このエンドポイントはグラフが水を保てる開集合を返し、描画図は返しません。

技術的な質問

上に凸な区間の計算機の料金は？

ブラウザツールは無料です。API 要求は成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 です。無効な入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

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多項式における上に凸の意味

ソルバーが p″ の符号表を組み立てる方法

入力のしかたと結果の読み方

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関連ツール

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エンドポイント

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レスポンス例

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技術的な注記

多項式における上に凸の意味

入力契約、応答形、API の位置づけ

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