Intervalle nach oben gekrümmt

Ein zweimal differenzierbarer Graph ist auf einem offenen Intervall nach oben gekrümmt, wenn dort die zweite Ableitung streng positiv ist: die Steigung nimmt zu und die Kurve biegt sich wie eine Schale, die Wasser halten kann. Für ein univariates Polynom, gegeben durch eine Koeffizientenliste, ist die zweite Ableitung ein weiteres Polynom, das allein mit der Potenzregel gebildet und mit einem klassischen Vorzeichen-Tableau analysiert wird — ohne Grafikrechner, ohne Computeralgebra-Abo und ohne eine Fließkomma-Blackbox, die von der Handfaktorisierung abweicht. Dieser Rechner für Intervalle nach oben gekrümmter Konvexität nimmt Koeffizienten vom höchsten Grad zum niedrigsten an, bildet p Strich und p zwei Striche, findet jede verschiedene reelle Wurzel der zweiten Ableitung, prüft die offenen Stücke der reellen Geraden zwischen diesen Wurzeln und liefert die offenen Intervalle, in denen p zwei Striche positiv bleibt, zusammen mit lesbaren Polynomzeichenketten für den Unterricht.

Was nach oben gekrümmt für ein Polynom bedeutet

Der Graph ist auf einem offenen Intervall I nach oben gekrümmt, wenn p zwei Striche von x für jedes x in I streng größer als null ist. An einer isolierten Wurzel von p zwei Striche ist die zweite Ableitung null, daher wird dieser Punkt aus jedem offenen Intervall der nach oben gekrümmten Konvexität ausgeschlossen, selbst wenn das Vorzeichen auf beiden Seiten positiv ist (Berührung gerader Vielfachheit) oder nur auf einer Seite (Vorzeichenwechsel ungerader Vielfachheit, der übliche Wendepunkt-Fall).

Komplexe nicht reelle Wurzeln von p zwei Striche erscheinen nie in der Schnittliste, weil ein Vorzeichen-Tableau auf der reellen Geraden nur reelle Abszissen nutzt. Polynome vom Grad null und eins haben identisch verschwindende zweite Ableitung, sind also auf keinem offenen Intervall streng nach oben gekrümmt, und die Ergebnisliste ist leer statt erfunden. Grad zwei liefert eine konstante zweite Ableitung: ist der Leitkoeffizient positiv, ist die ganze reelle Gerade als ein offenes Intervall von minus unendlich bis plus unendlich nach oben gekrümmt; ist er negativ, ist die Liste leer.

Höhere Grade erzeugen eine nicht konstante p zwei Striche, deren reelle Wurzeln die Gerade in endlich viele offene Stücke teilen, die dieser Löser mit Intervallschreibweise kennzeichnet.

Wie der Löser das Vorzeichen-Tableau von p″ aufbaut

Nach Validierung eines nicht leeren Koeffizientenarrays mit nicht null Leitterm differenziert die Engine zweimal in höchster-zuerst-Reihenfolge und entfernt führende Nullen aus exakter Kürzung. Das Polynom der zweiten Ableitung wird zur Anzeige formatiert und, wenn der Grad mindestens eins ist, an eine deterministische Pipeline reeller Wurzeln übergeben, die mit anderen reinen Analysis-Werkzeugen des Katalogs geteilt wird. Liegen alle Koeffizienten nahe bei einer ganzen Zahl, liefert der Satz über rationale Wurzeln eine endliche Kandidatenmenge; Treffer werden mit synthetischer Division abgezogen, sodass Vielfachheiten und Restfaktoren rasch schrumpfen.

Lineare Reste lösen sich durch Division; quadratische Reste nutzen die Diskriminantenformel und behalten nur reelle Wurzeln. Höhere Restgrade werden ohne externe Bibliotheken isoliert, indem rekursiv kritische Punkte des Rests gefunden, eine Cauchy-Magnitudengrenze angewendet, Intervalle mit Vorzeichenwechsel biseziert und mit Newton poliert wird, bis Rest und Schrittweite unter strenge Epsilon-Schwellen fallen. Sortierte verschiedene reelle Wurzeln werden die Bruchpunkte des Vorzeichen-Tableaus.

Jedes offene Stück — von minus unendlich zur ersten Wurzel, zwischen aufeinanderfolgenden Wurzeln und von der letzten Wurzel zu plus unendlich — wird an einem Mittelpunkt (oder einem Einheitsschritt jenseits eines unbeschränkten Endes) geprüft. Stücke, in denen p zwei Striche streng positiv auswertet, werden als offene Intervalle mit linkem Endpunkt, rechtem Endpunkt und kompakter Notation wie (0, +∞) ausgegeben. Die Wurzeln selbst werden nie eingeschlossen, weil hier nach oben gekrümmt streng positive zweite Ableitung bedeutet.