Horizontale Tangentenpunkte

Was eine horizontale Tangente für ein Polynom bedeutet

Schreiben Sie ein Polynom als p von x gleich a_n x hoch n plus a sub n minus eins mal x hoch n minus eins bis zum konstanten Term a_0. Die Ableitung p Strich ist die formale Term-für-Term-Regel n a_n x hoch n minus eins und so weiter; zur Laufzeit werden keine Grenzwerte berechnet, weil Polynome überall glatt sind. Vielfachheit wird zu einem einzigen gelisteten x zusammengezogen: ein flacher Wendepunkt mit Vielfachheit zwei erscheint trotzdem nur einmal im Array x_values – genau das, was Plot- und Wertetabellen-Workflows üblicherweise wollen. Der Grad ist begrenzt, damit isolierte Worker beschränkt bleiben und dennoch Kubiken, Quartiken und Quintiken abdecken, die Vorkalkül und Erstsemesteraufgaben dominieren.

Wie der Löser p′(x) = 0 findet

Wenn jeder Koeffizient nahe einer ganzen Zahl liegt, liefert der Satz über rationale Nullstellen eine endliche Kandidatenmenge; Treffer werden per synthetischer Division abgespalten, sodass Vielfachheiten und Restfaktoren rasch schrumpfen. Lineare Reste löst man durch Division; quadratische Reste nutzen die Diskriminantenformel und behalten nur reelle Nullstellen. Höhere Restgrade werden ohne externe Bibliotheken isoliert, indem kritische Punkte des Rests rekursiv lokalisiert, eine Cauchy-Größenschranke angewandt, Vorzeichenwechselintervalle halbiert und mit Newton poliert werden, bis Residual und Schrittweite unter strenge Epsilon-Schwellen fallen. Nach der Validierung eines nichtleeren Koeffizientenarrays mit nichtnull führendem Term differenziert die Engine in der Reihenfolge höchster Grad zuerst: jeder Koeffizient a_k von x hoch k wird zu k a_k von x hoch k minus eins. Das resultierende Ableitungspolynom wird von führenden Nullen durch exakte Streichung bereinigt, für die Anzeige formatiert und in eine deterministische Pipeline reeller Nullstellen gegeben. Nahe-ganzzahliges Rauschen wird für stabile JSON-Goldens über Runtimes eingerastet. Das endgültige Array x_values ist aufsteigend sortiert und dedupliziert; jedes passende y ist p, ausgewertet mit dem Horner-Schema, sodass Clients vollständige Punktepaare erhalten, ohne das Originalpolynom neu zu berechnen. Das Feld formula fasst den geometrischen Vertrag in einer Zeile für UI-Beschriftungen und LMS-Feedback zusammen.

Eingabevertrag, Antwortform und wo die API passt

Beispiel: eins, null, minus drei, null steht für x hoch drei minus drei x, dessen Ableitung drei x im Quadrat minus drei bei x gleich minus eins und x gleich eins verschwindet, mit y-Werten zwei bzw. minus zwei. Nutzen Sie das kostenlose Browser-Tool für einmalige Hausaufgabenprüfungen und Vorlesungsdemos ohne Maxima oder einen lokalen NumPy-Stack. Kombinieren Sie die x- und y-Arrays mit Ihrem eigenen Plotter, wenn Sie eine Skizze der Kurve und ihrer horizontalen Tangenten brauchen – dieser Endpunkt löst nur die Punkte. Senden Sie einen JSON-Körper mit dem Pflichtarray coefficients endlicher Zahlen, höchster Grad zuerst; der Alias coeffs wird der Bequemlichkeit halber akzeptiert. Bei Erfolg spiegelt die Antwort bereinigte Koeffizienten, degree, eine lesbare Polynomzeichenkette, derivative_coefficients, derivative_degree, eine Anzeigezeichenkette der Ableitung, sortierte x_values, parallele y_values, point_count und die Formel-Kennzeichnung wider. Fehlende Felder, nicht endliche Einträge, führender Koeffizient null, Grad über der Sicherheitsgrenze oder ein konstantes Polynom scheitern mit invalid_input und werden nicht berechnet. Nutzen Sie die API, wenn eine Tutorplattform, ein Coding-Assessment-Sandbox, ein Curriculum-Generator oder eine Notebook-Pipeline einen stabilen Vertrag unter vorausbezahltem KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Posten braucht.