Puntos de tangente horizontal
La curva x^3 - 3x se aplana en (-1, 2) y en (1, -2), donde su derivada 3x^2 - 3 vale cero. Escriba los coeficientes de cualquier polinomio y obtenga todos los puntos reales con tangente horizontal, listos para graficar. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Coeficientes
- 1, 0, -3, 0
- Grado
- 3
- Polinomio
- x^3 - 3x
- Coeficientes de la derivada
- 3, 0, -3
- Orden de la derivada
- 2
Una recta tangente horizontal sobre una gráfica suave es la imagen geométrica de un punto crítico: la pendiente instantánea es cero, de modo que la derivada de la función se anula. Para un polinomio univariado dado por sus coeficientes, esa condición se convierte en una segunda ecuación polinómica de un grado menor que puede resolverse con búsqueda clásica de raíces, sin software de graficación ni un sistema completo de álgebra computacional. Esta calculadora de puntos de tangente horizontal acepta la lista de coeficientes del grado más alto al más bajo, construye la derivada formal, halla cada raíz real distinta de esa derivada y devuelve los valores de x ordenados junto con las alturas y iguales a p de x, para que usted pueda trazar o tabular los puntos de inmediato.
Qué significa una tangente horizontal para un polinomio
Una recta tangente en un punto x0 tiene pendiente p prima de x0, de modo que la tangente es horizontal exactamente cuando p prima de x0 vale cero. Esos x0 son los puntos críticos de p en el sentido del cálculo: máximos locales, mínimos locales o puntos de inflexión horizontales según la segunda derivada y la gráfica circundante. Las raíces complejas no reales de la derivada se omiten porque una gráfica en el plano real solo muestra abscisas reales.
Los polinomios de grado uno no constantes tienen pendiente constante no nula, así que la lista de soluciones queda vacía en lugar de inventarse. Las constantes de grado cero se rechazan como entrada inválida porque la gráfica es una recta horizontal y todo x calificaría, lo cual no es una lista finita de puntos.
Cómo el solucionador halla p′(x) = 0
El polinomio derivada resultante se limpia de ceros iniciales por cancelación exacta, se formatea para mostrar y se envía a un pipeline determinista de raíces reales. Cuando todos los coeficientes están cerca de un entero, el teorema de la raíz racional aporta un conjunto finito de candidatos; los aciertos se extraen con división sintética para que multiplicidades y factores residuales se reduzcan con rapidez. Los residuales lineales se resuelven por división; los residuales cuadráticos usan la fórmula del discriminante y conservan solo raíces reales.
Los grados residuales superiores se aíslan sin bibliotecas externas localizando de forma recursiva puntos críticos del residual, aplicando una cota de magnitud de Cauchy, bisecando intervalos con cambio de signo y puliendo con Newton hasta que residual y tamaño de paso caen bajo umbrales epsilon estrictos. El campo formula reexpresa el contrato geométrico en una línea para pies de UI y retroalimentación de LMS.
Qué puede hacer con ella
Tareas de cálculo y comprobación de puntos críticos
Los estudiantes introducen coeficientes polinómicos y verifican cada x real donde la tangente es horizontal frente al trabajo manual con la regla de la potencia y la factorización.
Bancos de examen y autoevaluación en LMS
Genere cúbicos y cuárticos con puntos críticos conocidos y califique entregas contra este oráculo determinista p′(x)=0 en lugar de emparejar cadenas frágiles.
Cuadernos y scripts ligeros de diseño
Localice tramos planos en curvas de respuesta de bajo grado en modelos de calibración o coste sin incorporar un paquete completo de álgebra simbólica al pipeline.
Preguntas frecuentes
¿Cómo hallo los puntos de tangente horizontal de un polinomio?
Envíe coefficients del grado más alto primero (por ejemplo [1, 0, -3, 0] para x³ − 3x).
¿Qué significa una tangente horizontal?
La recta tangente en x tiene pendiente cero, así que p′(x)=0. Esas abscisas son los puntos críticos reales del polinomio sobre la recta real.
¿Por qué se rechazan los polinomios constantes?
Una gráfica constante es en sí una recta horizontal, de modo que todo x calificaría. El solucionador exige un polinomio no constante y devuelve una lista finita de puntos donde p′ se anula.
¿Cuáles son los puntos de tangente horizontal de x^3 - 3x?
La derivada es 3x^2 - 3, que se anula en -1 y en 1. Las alturas correspondientes son 2 y -2, así que la curva queda plana en (-1, 2) y en (1, -2).
¿Por qué una recta no da ningún punto?
Un polinomio de grado uno tiene la misma pendiente distinta de cero en todas partes, así que su tangente nunca es horizontal. La calculadora devuelve una lista vacía en lugar de inventar un punto.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,0]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,0]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
0
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.tangent_horizontal_points",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Qué significa una tangente horizontal para un polinomio
Escriba un polinomio como p de x igual a a_n x a la n más a sub n menos uno por x a la n menos uno hasta el término constante a_0. La derivada p prima es la regla formal término a término n a_n x a la n menos uno y así sucesivamente; en tiempo de ejecución no se calculan límites porque los polinomios son suaves en todas partes. La multiplicidad se colapsa en un único x listado: una inflexión plana que toca con multiplicidad dos sigue apareciendo una sola vez en el arreglo x_values, que es lo que suelen necesitar el graficado y las tablas de valores.
Cómo el solucionador halla p′(x) = 0
Tras validar un arreglo de coeficientes no vacío con término principal no nulo, el motor deriva en orden del grado más alto primero: cada coeficiente a_k de x a la k se convierte en k a_k de x a la k menos uno. El ruido casi entero se redondea para goldens JSON estables entre entornos de ejecución. El arreglo final x_values se ordena de forma ascendente y se deduplica; cada y coincidente es p evaluado por el método de Horner, de modo que los clientes reciben pares de puntos completos sin recomputar el polinomio original.
Contrato de entrada, forma de respuesta y dónde encaja la API
Ejemplo: uno, cero, menos tres, cero representa x al cubo menos tres x, cuya derivada tres x al cuadrado menos tres se anula en x igual a menos uno y x igual a uno, con valores y dos y menos dos respectivamente. Use la herramienta gratuita en el navegador para comprobaciones puntuales de tareas y demos de clase sin instalar Maxima ni una pila local de NumPy. Envíe un cuerpo JSON con el arreglo obligatorio coefficients de números finitos, grado más alto primero; el alias coeffs se acepta por comodidad. En caso de éxito la respuesta devuelve coeficientes limpios, degree, una cadena legible del polinomio, derivative_coefficients, derivative_degree, una cadena de visualización de la derivada, x_values ordenados, y_values paralelos, point_count y la etiqueta formula. Campos ausentes, entradas no finitas, coeficiente principal cero, grado por encima del tope de seguridad o un polinomio constante fallan con invalid_input y no se facturan. Use la API cuando una plataforma de tutoría, un sandbox de evaluación de código, un generador de currículo o un pipeline de cuadernos necesite un contrato estable bajo saldo prepago KIT a $0.002 por ítem exitoso. Combine los arreglos x e y con su propio trazador si necesita un boceto de la curva y sus tangentes horizontales: este endpoint solo resuelve los puntos.
Preguntas técnicas
¿Puede un polinomio lineal tener tangente horizontal?
Solo si en realidad es constante. Un polinomio lineal no constante tiene pendiente constante no nula, así que point_count es cero y x_values está vacío.
¿Cuánto cuesta la calculadora de puntos de tangente horizontal?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.