ForHosting KIT · الرياضيات

نقاط المماس الأفقي

يستوي المنحنى x^3 - 3x عند (-1, 2) و(1, -2)، حيث تنعدم مشتقته 3x^2 - 3. أدخلوا معاملات أي كثيرة حدود لتحصلوا على كل النقاط الحقيقية ذات المماس الأفقي، جاهزة للرسم أو للجدول. مجانًا في متصفحكم.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

المعاملات: 1, 0, ‎-3, 0

تحصل على

الدرجة: 3
كثير الحدود: x^3 - 3x
معاملات المشتقة: 3, 0, ‎-3
رتبة المشتقة: 2

المماس الأفقي على رسم بياني أملس هو الصورة الهندسية لنقطة حرجة: الميل اللحظي صفر، فتختفي مشتقة الدالة. لكثيرة حدود بمتغير واحد معطاة بمعاملاتها تصبح تلك الشرط معادلة كثيرة حدود ثانية بدرجة أقل تُحل ببحث كلاسيكي عن الجذور دون برمجيات رسم أو نظام جبر حاسوبي كامل. تقبل حاسبة نقاط المماس الأفقي قائمة المعاملات من الدرجة الأعلى أولاً، وتبني المشتقة الشكلية، وتجد كل جذر حقيقي متميز لتلك المشتقة، وتعيد قيم x مرتبة مع الارتفاعات y المساوية ل p من x حتى يتسنى لكم رسم النقاط أو جدولتها فورًا.

ماذا يعني المماس الأفقي لكثيرة حدود

للمماس عند النقطة x0 ميل p شرطة من x0، فيكون المماس أفقيًا تمامًا عندما تساوي p شرطة من x0 صفرًا. تلك القيم x0 هي النقاط الحرجة ل p بمعنى التفاضل: قيم عظمى محلية أو صغرى محلية أو نقاط انعطاف أفقية بحسب المشتقة الثانية والرسم المحيط. تُحذف الجذور المركبة غير الحقيقية للمشتقة لأن رسم المستوى الحقيقي يعرض إحداثيات أفقية حقيقية فقط.

كثيرات الحدود من الدرجة الأولى غير الثابتة لها ميل ثابت غير صفري، فتبقى قائمة الحلول فارغة بدل اختراع جذور. تُرفض الثوابت من الدرجة صفر كمدخل غير صالح لأن الرسم خط أفقي وكل x يستوفي الشرط، وليست قائمة نقاط منتهية. تُحدَّد الدرجة العليا حتى تبقى العمال المعزولة محدودة مع تغطية التكعيبيات والرباعيات والخماسيات التي تهيمن على تمارين ما قبل التفاضل والسنة الأولى.

كيف يجد الحلّال p′(x) = 0

تُنظَّف كثيرة الحدود المشتقة من الأصفار القيادية الناتجة عن الإلغاء التام، وتُنسَّق للعرض، وتُمرَّر إلى مسار حتمي للجذور الحقيقية. عندما تكون كل المعاملات قريبة من أعداد صحيحة يوفّر مبرهنة الجذر النسبي مجموعة مرشحين منتهية؛ وتُزال الإصابات بالقسمة التركيبية فتنكمش التعددية والعوامل المتبقية بسرعة. تُحل البقايا الخطية بالقسمة، وتستخدم البقايا التربيعية صيغة المميّز وتُبقي الجذور الحقيقية فقط.

تُعزل الدرجات المتبقية الأعلى دون مكتبات خارجية بتحديد نقاط حرجة للباقي تكراريًا، وتطبيق حد مقدار ل Cauchy، وتنصيف فواصل تغيّر الإشارة، وصقل نيوتن حتى يهبط الباقي وخطوة التقدّم تحت عتبات إبسلون صارمة. يعيد حقل formula صياغة العقد الهندسي في سطر واحد لتسميات الواجهة وملاحظات LMS.

كيف تُدخلون المعاملات وتقرؤون النتيجة

مثال: واحد، صفر، سالب ثلاثة، صفر يمثل x مكعبًا ناقص ثلاثة x، ومشتقته ثلاثة x مربّع ناقص ثلاثة تنعدم عند x يساوي سالب واحد وx يساوي واحدًا، بقيم y تساوي اثنين وسالب اثنين على الترتيب. استخدموا الأداة المجانية في المتصفح لفحوصات واجبات لمرة واحدة وعروض محاضرة دون تثبيت Maxima أو حزمة NumPy محلية. النتائج حتمية بالكامل وآمنة للتثبيت في تجهيزات التكامل المستمر؛ وإخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد أبدًا.

اقرنوا مصفوفتَي x وy بمخطّطكم إن احتجتم رسمًا للمنحنى ومماساته الأفقية — فهذا الطرف يحل النقاط فقط.

حالات الاستخدام

واجبات التفاضل وفحص النقاط الحرجة

يُدخل الطلاب معاملات كثيرة الحدود ويتحققون من كل x حقيقي يكون عنده المماس أفقيًا بمقارنتها بالحل اليدوي بقاعدة القوة والتحليل إلى عوامل.

بنوك اختبارات وتصحيح تلقائي في LMS

ولّدوا تكعيبيات ورباعيات بنقاط حرجة معروفة وصحّحوا التسليمات مقابل هذا الوحي الحتمي p′(x)=0 بدل مطابقة سلاسل هشة.

دفاتر وسكربتات تصميم خفيفة

حدّدوا المواضع المستوية على منحنيات استجابة منخفضة الدرجة في نماذج المعايرة أو التكلفة دون سحب حزمة جبر رمزي كاملة إلى خط الأنابيب.

الأسئلة الشائعة

كيف أجد نقاط المماس الأفقي لكثيرة حدود؟

أرسلوا coefficients بالدرجة الأعلى أولاً (مثلًا [1, 0, -3, 0] ل x³ − 3x).

ماذا يعني المماس الأفقي؟

للمماس عند x ميل صفري، أي p′(x)=0. تلك الإحداثيات الأفقية هي النقاط الحرجة الحقيقية لكثيرة الحدود على الخط الحقيقي.

لماذا تُرفض كثيرات الحدود الثابتة؟

الرسم الثابت نفسه خط أفقي، فكل x يستوفي الشرط. يطلب الحلّال كثيرة حدود غير ثابتة ويعيد قائمة منتهية من النقاط حيث تختفي p′.

ما نقاط المماس الأفقي للدالة x^3 - 3x؟

المشتقة هي 3x^2 - 3 وتنعدم عند -1 و1. والارتفاعان المقابلان هما 2 و-2، فيكون المنحنى أفقيًا عند (-1, 2) وعند (1, -2).

لماذا لا يعطي الخط المستقيم أي نقطة؟

كثيرة الحدود من الدرجة الأولى لها الميل غير الصفري نفسه في كل مكان، فلا يكون مماسها أفقيًا أبدًا. لذلك تعيد الحاسبة قائمة فارغة بدل اختلاق نقطة غير موجودة.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[1,0,-3,0]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      1,
      0,
      -3,
      0
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        1,
        0,
        -3,
        0
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[1,0,-3,0]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/tangent-horizontal-points", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "coefficients": [
    1,
    0,
    -3,
    0
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.tangent_horizontal_points",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تحتاج فحوصات الصف ومنصات التدريس ومولّدات الاختبارات ودفاتر الهندسة الخفيفة إلى الإجابة الحتمية نفسها للمعاملات نفسها؛ ويشارك ودجت المتصفح المجاني وواجهة API المدفوعة مسبقًا وحدة نقية واحدة حتى لا تختلف ذهبِيّات الواجبات وسكربتات الإنتاج حول ما إذا كانت التكعيبية ذات نقطة مستوية واحدة أو اثنتين.

ماذا يعني المماس الأفقي لكثيرة حدود

اكتبوا كثيرة الحدود على صورة p من x تساوي a_n x إلى n زائد a تحت n ناقص واحد مضروبًا في x إلى n ناقص واحد حتى الحد الثابت a_0. المشتقة p شرطة هي القاعدة الشكلية حدًا بحد n a_n x إلى n ناقص واحد وهكذا؛ ولا تُحسب حدود في زمن التشغيل لأن كثيرات الحدود ملساء في كل موضع. تُطوى التعددية في x واحد مُدرج: انعطاف مستوٍ بتعددية اثنين يظهر مرة واحدة في المصفوفة x_values، وهو ما تحتاجه مسارات الرسم وجداول القيم عادة.

كيف يجد الحلّال p′(x) = 0

بعد التحقق من مصفوفة معاملات غير فارغة بمعامل قيادي غير صفري، يشتق المحرك بترتيب الدرجة الأعلى أولاً: يصبح كل معامل a_k ل x إلى k هو k a_k ل x إلى k ناقص واحد. يُثبَّت الضجيج شبه الصحيح لذهبِيّات JSON مستقرة عبر بيئات التشغيل. تُرتَّب المصفوفة النهائية x_values تصاعديًا وتُزال المكررات؛ وكل y مطابق هو p مُقيَّم بطريقة هورنر، فيتلقى العملاء أزواج نقاط كاملة دون إعادة حساب كثيرة الحدود الأصلية.

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وموضع API

أرسلوا جسم JSON مع المصفوفة الإلزامية coefficients من أعداد منتهية، الدرجة الأعلى أولاً؛ ويُقبل الاسم البديل coeffs للراحة. عند النجاح تعيد الاستجابة معاملات منظَّفة وdegree وسلسلة كثيرة حدود مقروءة وderivative_coefficients وderivative_degree وسلسلة عرض للمشتقة وx_values مرتبة وy_values موازية وpoint_count وتسمية formula. الحقول الناقصة والمدخلات غير المنتهية والمعامل القيادي الصفري والدرجة فوق سقف الأمان أو كثيرة الحدود الثابتة تفشل ب invalid_input ولا تُحاسب. استخدموا API عندما تحتاج منصة تدريس أو بيئة تقييم برمجة أو مولّد منهج أو خط أنابيب دفاتر عقدًا مستقرًا تحت رصيد KIT المدفوع مسبقًا ب $0.002 لكل عنصر ناجح.

أسئلة تقنية

هل يمكن لكثيرة حدود خطية أن تملك مماسًا أفقيًا؟

فقط إن كانت في الواقع ثابتة. كثيرة الحدود الخطية غير الثابتة لها ميل ثابت غير صفري، فيكون point_count صفرًا وx_values فارغًا.

كم تكلفة حاسبة نقاط المماس الأفقي؟

أداة المتصفح مجانية. طلبات API تستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا ب $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ والمدخل غير الصالح لا يُحاسب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ماذا يعني المماس الأفقي لكثيرة حدود

كيف يجد الحلّال p′(x) = 0

كيف تُدخلون المعاملات وتقرؤون النتيجة

حالات الاستخدام

واجبات التفاضل وفحص النقاط الحرجة

بنوك اختبارات وتصحيح تلقائي في LMS

دفاتر وسكربتات تصميم خفيفة

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ماذا يعني المماس الأفقي لكثيرة حدود

كيف يجد الحلّال p′(x) = 0

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وموضع API

أسئلة تقنية

شكرًا