ForHosting KIT · الرياضيات

جذور كثيرات الحدود

اعرض الجذور الحقيقية لكثيرة الحدود مع تكرارها: لكثيرة الحدود x³ − 6x² + 11x − 6 الجذور 1 و2 و3، وكل منها بسيط. والجذر المزدوج يظهر مرة واحدة بتكرار 2. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

المعاملات: 1, ‎-6, 11, ‎-6

تحصل على

الدرجة: 3
كثير الحدود: x^3 - 6x^2 + 11x - 6
الجذور: 1, 2, 3
التعدديات: 1, 1, 1

إيجاد كل عدد حقيقي ينعدم عنده كثير الحدود مهارة مركزية في الجبر والتفاضل والهندسة والحوسبة العلمية. مع قائمة معاملات كثير حدود وحيد المتغير—الأعلى درجة أولاً—تُرجع هذه القدرة كل جذر حقيقي متميز مع تعدده. تُكتشف الجذور الصحيحة والنسبية بنظرية الجذور النسبية الكلاسيكية وتُنزع بالقسمة التركيبية؛ أي باقٍ تربيعي يُحل بصيغة مغلقة؛ العوامل الباقية الأعلى درجة تُعزل بنقاط حرجة للمشتقة وحد كوشي للمقدار والتنصيف وصقل نيوتن. يُرفض معامل قائد صفري كإدخال غير صالح بدل خفض الدرجة بصمت.

المعاملات والدرجة وماذا يعني «كل الجذور الحقيقية»

الدرجة واحد أقل من طول مصفوفة سليمة. الجذر الحقيقي أي عدد حقيقي r بحيث p(r) يساوي صفراً؛ تُحذف الأزواج المترافقة المركبة غير الحقيقية عمداً لأن كثيراً من مهام الصف والأنابيب تهتم فقط بتقاطعات المحور x الحقيقية. يعدّ التعدد كم مرة يقسم (x ناقص r) p: جذر مزدوج لـ (x ناقص 1) تربيع يظهر مرة في قائمة الجذور بتعدد اثنين، وهو أنفع للرسم والكسور الجزئية من سرد نفس القيمة مرتين.

كثيرات الحدود الثابتة غير الصفرية درجتها صفر وقائمة جذور فارغة.

كيف يجمع الحل نظرية الجذور النسبية مع التنقيح العددي

عندما يكون كل معامل قريباً من صحيح، توفّر نظرية الجذور النسبية مجموعة مرشحين منتهية: كل جذر نسبي بأبسط حدود p على q يقسم فيه p الحد الثابت و q المعامل القائد، بما في ذلك تنويعات الإشارة والصفر عندما ينعدم الحد الثابت. يُقيَّم كل مرشح بطريقة هورنر؛ تُزال الإصابات بالقسمة التركيبية وتتكرر العملية لالتقاط التعدديات. بعد الانكماش النسبي، باقٍ خطي يعطي جذراً واحداً بالقسمة، وباقٍ تربيعي يستخدم صيغة المميّز فيعيد صفراً أو جذراً أو جذرين حقيقيين.

الدرجات الباقية الأعلى تُعالَج بلا مكتبات خارجية: تُحل المشتقة الشكلية تكرارياً لتحديد النقاط الحرجة، وحد كوشي يضمن أن كل الجذور الحقيقية تقع داخل فترة معروفة، وكل فترة فرعية بتغيّر إشارة تُنقَّح بالتنصيف ثم تكرار نيوتن حتى يسقط الباقي وحجم الخطوة تحت عتبات إبسيلون ضيقة. يُنظَّف الضجيج شبه الصحيح لـ goldens مقروءة بينما تحتفظ غير النسبية العادية مثل زائد أو ناقص جذر اثنين باثني عشر رقماً معنوياً.

كيف تقرأ النتيجة وما حدودها

استخدم الأداة المجانية في المتصفح لفحوصات واجبات لمرة واحدة وعروض محاضرة واختبارات سلامة سريعة دون تثبيت Maxima أو Mathematica أو حزمة NumPy محلية. الدرجة محدودة لأمان العزل؛ مقادير معاملات كبيرة جداً قد تعاني إلغاءً كأي مخطط دقة مزدوجة، ففضّل مدخلات صف وهندسة جيدة المقياس. النتائج حتمية وآمنة للتثبيت في تركيبات التكامل المستمر.

تتبع مدخلات المصدر نفس قواعد الاحتفاظ لعناصر parse الأخرى في KIT، وإخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد أبداً بعد رفض المحرك.

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والتدريس

يؤكد الطلاب والمصححون كل جذر حقيقي وتعدده للتكعيبيات والرباعيات دون تثبيت جبر حاسوبي محلي، مع أخطاء واضحة لمعامل قائد صفري.

مولّدات المنهج والتقييم

تولّد بنوك مسائل آلية كثيرات حدود بجذور صحيحة عشوائية وتتحقق من مخرج الحل مقابل هذا الأوراكل الحتمي قبل نشر التمارين.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا كان المعامل القائد صفراً؟

لا تُخفض الدرجة بصمت ولا تُحسب المكالمة الفاشلة.

هل تُرجع جذوراً مركبة؟

لا. تُرجع الجذور الحقيقية فقط. تُحذف الأزواج المترافقة المركبة غير الحقيقية عمداً ليطابق المخرج تقاطعات المحور x ومعظم مهام الجذور الحقيقية في الصف.

كيف تُبلَّغ الجذور المتعددة؟

مثلاً (x − 1)² يعطي roots [1] مع multiplicities [2].

ما دقة الجذور غير النسبية؟

الجذور التي ليست أعدادًا صحيحة ولا كسورًا، مثل موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ2، تُحسَّن حتى اثني عشر رقمًا معنويًا. أما الجذور الصحيحة والنسبية فيُبحث عنها أولًا بدقة تامة.

بأي ترتيب أدخل المعاملات؟

من أعلى درجة إلى الحد الثابت. لكثيرة الحدود x³ − 6x² + 11x − 6 أدخل 1 و−6 و11 و−6، ويجب ألا تكون القيمة الأولى صفرًا.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      1,
      -6,
      11,
      -6
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        1,
        -6,
        11,
        -6
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-6,11,-6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "coefficients": [
    1,
    -6,
    11,
    -6
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.polynomial_roots",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

المعاملات والدرجة وماذا يعني «كل الجذور الحقيقية»

اكتب كثير حدود وحيد المتغير أحادياً أو غير أحادي كـ a_n x مرفوعاً إلى n زائد a_{n-1} x مرفوعاً إلى n-1 حتى a_0. مصفوفة الإدخال هي بالضبط تلك الأعداد بذلك الترتيب: الأول هو المعامل القائد a_n والأخير الحد الثابت. إذا كان المعامل القائد صفراً يفشل الطلب بـ invalid_input—المحرك لا يسقط أصفار القائد بصمت، فيبقى المستدعون مسؤولين عن إعلان الدرجة المقصودة.

كيف يجمع الحل نظرية الجذور النسبية مع التنقيح العددي

المسار كله حساب عائم نقي—بلا شبكة ولا بذور عشوائية ولا زمن ساعة—فنفس المعاملات تنتج دائماً نفس JSON. إخفاق التحقق، بما في ذلك مصفوفة معاملات ناقصة أو حد قائد صفري، يرفع invalid_input ولا يُحسب.

استدعاء API وقراءة الاستجابة والتسعير والحدود العملية

أرسل جسماً JSON بمصفوفة coefficients الإلزامية من أعداد منتهية، الأعلى درجة أولاً؛ يُقبل الاسم البديل coeffs للراحة. عند النجاح تعيد الاستجابة المعاملات المنظفة والدرجة وسلسلة كثير حدود مقروءة والجذور الحقيقية المتميزة المرتبة ومصفوفة multiplicities موازية وكائنات root_details منظمة و real_root_count المتميز وتسمية method توثّق الاستراتيجية النسبية-زائد-العددية. استخدم API عندما تحتاج منصة تدريس أو بيئة تقييم برمجة أو مولّد منهج أو أنبوب بيانات عقداً مستقراً تحت رصيد KIT المدفوع مسبقاً بـ $0.002 لكل عنصر ناجح.

حالات التكامل

أنابيب عددية خفيفة

السكربتات التي تحتاج جذوراً حقيقية لكثيرات حدود بواقي منخفضة الدرجة تستدعي نقطة JSON مستقرة بدل إعادة تنفيذ بحث الجذور النسبية وصقل نيوتن في كل لغة.

أسئلة تقنية

كيف أجد جذور كثيرات الحدود بهذه API؟

أرسل JSON مع coefficients كمصفوفة الأعلى درجة أولاً (مثلاً [1, -6, 11, -6] لـ x³ − 6x² + 11x − 6). تسرد الاستجابة كل جذر حقيقي متميز مع تعدده.

هل موجد جذور كثيرات الحدود مجاني؟

تعمل أداة المتصفح مجاناً على جهازكم. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقاً بـ $0.002 لكل عنصر ناجح؛ إخفاقات التحقق لا تُحسب.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

المعاملات والدرجة وماذا يعني «كل الجذور الحقيقية»

كيف يجمع الحل نظرية الجذور النسبية مع التنقيح العددي

كيف تقرأ النتيجة وما حدودها

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والتدريس

مولّدات المنهج والتقييم

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

المعاملات والدرجة وماذا يعني «كل الجذور الحقيقية»

كيف يجمع الحل نظرية الجذور النسبية مع التنقيح العددي

استدعاء API وقراءة الاستجابة والتسعير والحدود العملية

حالات التكامل

أنابيب عددية خفيفة

أسئلة تقنية

شكرًا