Raíces de polinomios
Obtenga las raíces reales de un polinomio con su multiplicidad: x³ − 6x² + 11x − 6 tiene las raíces 1, 2 y 3, cada una simple. Una raíz doble aparece una sola vez con multiplicidad 2. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Coeficientes
- 1, -6, 11, -6
- Grado
- 3
- Polinomio
- x^3 - 6x^2 + 11x - 6
- Raíces
- 1, 2, 3
- Multiplicidades
- 1, 1, 1
Encontrar todo número real donde un polinomio se anula es una habilidad central en álgebra, cálculo, ingeniería y computación científica. Dada la lista de coeficientes de un polinomio univariado—el grado más alto primero—esta capacidad devuelve cada raíz real distinta junto con su multiplicidad. Las raíces enteras y racionales se descubren con el teorema clásico de las raíces racionales y se despegan por división sintética; cualquier residual cuadrático se resuelve en forma cerrada; factores residuales de mayor grado se aíslan con puntos críticos de la derivada, una cota de magnitud de Cauchy, bisección y pulido de Newton. Un coeficiente líder cero se rechaza como entrada inválida en lugar de bajar el grado en silencio.
Coeficientes, grado y qué significa «todas las raíces reales»
El grado es uno menos que la longitud de un array bien formado. Una raíz real es cualquier número real r tal que p(r) es cero; los pares conjugados complejos no reales se omiten intencionadamente porque muchas tareas de aula y de tubería solo se ocupan de cruces reales del eje x.
La multiplicidad cuenta cuántas veces (x menos r) divide a p: una raíz doble de (x menos 1) al cuadrado aparece una vez en la lista de raíces con multiplicidad dos, lo cual es más útil para graficar y fracciones parciales que listar el mismo valor dos veces. Los polinomios constantes no nulos tienen grado cero y una lista de raíces vacía.
Cómo el solucionador combina el teorema de raíces racionales con refinamiento numérico
Cuando cada coeficiente está cerca de un entero, el teorema de las raíces racionales suministra un conjunto finito de candidatos: toda raíz racional en términos mínimos p sobre q tiene p que divide el término constante y q que divide el coeficiente líder, incluyendo variantes de signo y cero cuando el término constante se anula. Cada candidato se evalúa con el método de Horner; los aciertos se eliminan por división sintética y el proceso se repite para capturar multiplicidades.
Tras la deflación racional, un residual lineal produce una raíz por división, y un residual cuadrático usa la fórmula del discriminante, devolviendo cero, una o dos raíces reales.
Los grados residuales mayores se manejan sin bibliotecas externas: la derivada formal se resuelve recursivamente para localizar puntos críticos, una cota de Cauchy garantiza que todas las raíces reales yacen dentro de un intervalo conocido, y cada subintervalo con cambio de signo se refina por bisección y luego iteración de Newton hasta que residual y tamaño de paso caen bajo umbrales épsilon estrechos. El ruido casi entero se limpia para goldens legibles mientras que irracionales ordinarios como más o menos raíz de dos conservan doce dígitos significativos de precisión.
Qué puede hacer con ella
Verificación de deberes y tutoría
Estudiantes y evaluadores confirman cada raíz real y multiplicidad para cúbicas y cuárticas sin instalar álgebra computacional local, con errores claros para un coeficiente líder cero.
Generadores de currículo y evaluación
Bancos de problemas automatizados generan polinomios de raíces enteras aleatorias y verifican la salida del solucionador contra este oráculo determinista antes de publicar ejercicios.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si el coeficiente líder es cero?
El grado no se reduce en silencio y la llamada fallida no se cobra.
¿Devuelve raíces complejas?
No. Solo se devuelven raíces reales. Los pares conjugados complejos no reales se omiten a propósito para que la salida coincida con interceptos del eje x y la mayoría de tareas de raíces reales de aula.
¿El buscador de raíces de polinomios es gratuito?
La herramienta del navegador se ejecuta gratis en su dispositivo.
¿Cómo se reportan las raíces múltiples?
Por ejemplo (x − 1)² produce roots [1] con multiplicities [2].
¿Con qué precisión se dan las raíces irracionales?
Las raíces que no son enteras ni fraccionarias, como más o menos la raíz cuadrada de 2, se afinan hasta conservar doce cifras significativas. Las raíces enteras y racionales se buscan primero de forma exacta.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-6,11,-6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Coeficientes, grado y qué significa «todas las raíces reales»
Escriba un polinomio univariado mónico o no mónico como a_n x a la n más a_{n-1} x a la n-1 hasta a_0. El array de entrada es exactamente esos números en ese orden: la primera entrada es el coeficiente líder a_n y la última es el término constante. Si el coeficiente líder es cero la petición falla con invalid_input—el motor no elimina en silencio ceros líderes, de modo que los llamadores siguen siendo responsables de declarar el grado pretendido.
Cómo el solucionador combina el teorema de raíces racionales con refinamiento numérico
Todo el camino es aritmética de coma flotante pura—sin red, sin semillas aleatorias, sin tiempo de reloj—de modo que los mismos coeficientes siempre producen el mismo JSON. La validación fallida, incluido un array de coeficientes ausente o un término líder cero, lanza invalid_input y no se cobra.
Llamar a la API, leer la respuesta, precios y límites prácticos
Use la herramienta gratuita en el navegador para comprobaciones de deberes puntuales, demos de clase y pruebas rápidas de sanidad sin instalar Maxima, Mathematica ni una pila NumPy local. El grado está limitado por seguridad de aislamiento; magnitudes de coeficientes extremadamente grandes pueden sufrir cancelación como cualquier esquema de precisión doble, así que prefiera entradas de aula y de ingeniería bien escaladas. Las entradas de origen siguen las mismas reglas de retención que otros ítems parse de KIT, y los fallos de validación nunca consumen saldo tras el rechazo del motor. Envíe un cuerpo JSON con el array coefficients obligatorio de números finitos, grado más alto primero; se acepta el alias coeffs por comodidad. En caso de éxito la respuesta hace eco de los coeficientes limpios, el grado, una cadena de polinomio legible, las raíces reales distintas ordenadas, un array paralelo de multiplicities, objetos root_details estructurados, el real_root_count distinto y una etiqueta method que documenta la estrategia racional-más-numérica. Use la API cuando una plataforma de tutoría, un sandbox de evaluación de código, un generador de currículo o una tubería de datos necesiten un contrato estable bajo saldo prepago de KIT a $0.002 por ítem exitoso.
Casos de integración
Tuberías numéricas ligeras
Scripts que necesitan raíces reales de polinomios residuales de bajo grado llaman a un extremo JSON estable en lugar de reimplementar búsqueda de raíces racionales y pulido de Newton en cada lenguaje.
Preguntas técnicas
¿Cómo encuentro raíces de polinomios con esta API?
Envíe JSON con coefficients como un array con el grado más alto primero (por ejemplo [1, -6, 11, -6] para x³ − 6x² + 11x − 6). La respuesta lista cada raíz real distinta con multiplicidad.