Radici di polinomi
Ottenga le radici reali di un polinomio con la loro molteplicità: x³ − 6x² + 11x − 6 ha le radici 1, 2 e 3, ciascuna semplice. Una radice doppia compare una sola volta con molteplicità 2. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Coefficienti
- 1, -6, 11, -6
- Grado
- 3
- Polinomio
- x^3 - 6x^2 + 11x - 6
- Radici
- 1, 2, 3
- Molteplicità
- 1, 1, 1
Trovare ogni numero reale in cui un polinomio si annulla è una competenza centrale in algebra, calcolo, ingegneria e calcolo scientifico. Data la lista di coefficienti di un polinomio univariato—grado più alto per primo—questa capacità restituisce ogni radice reale distinta insieme alla sua molteplicità. Le radici intere e razionali si scoprono con il teorema classico delle radici razionali e si staccano per divisione sintetica; ogni residuo quadratico si risolve in forma chiusa; fattori residuali di grado superiore si isolano con punti critici della derivata, un bound di magnitudine di Cauchy, bisezione e lucidatura di Newton. Un coefficiente guida zero è rifiutato come input non valido invece di abbassare silenziosamente il grado.
Coefficienti, grado e cosa significa «tutte le radici reali»
Il grado è uno in meno della lunghezza di un array ben formato. Una radice reale è qualsiasi numero reale r tale che p(r) sia zero; le coppie coniugate complesse non reali sono intenzionalmente omesse perché molti compiti di aula e di pipeline si occupano solo di incroci reali dell'asse x.
La molteplicità conta quante volte (x meno r) divide p: una radice doppia di (x meno 1) al quadrato appare una volta nell'elenco delle radici con molteplicità due, più utile per grafici e frazioni parziali che elencare lo stesso valore due volte. I polinomi costanti non nulli hanno grado zero e un elenco di radici vuoto.
Come il risolutore combina il teorema delle radici razionali con il raffinamento numerico
Quando ogni coefficiente è vicino a un intero, il teorema delle radici razionali fornisce un insieme finito di candidati: ogni radice razionale in termini minimi p su q ha p che divide il termine costante e q che divide il coefficiente guida, comprese varianti di segno e zero quando il termine costante svanisce. Ogni candidato è valutato con il metodo di Horner; i colpi si rimuovono per divisione sintetica e il processo si ripete per catturare molteplicità.
Dopo la deflazione razionale, un residuo lineare produce una radice per divisione, e un residuo quadratico usa la formula del discriminante, restituendo zero, una o due radici reali. Gradi residuali maggiori si gestiscono senza librerie esterne: la derivata formale si risolve ricorsivamente per localizzare punti critici, un bound di Cauchy garantisce che tutte le radici reali giacciano in un intervallo noto, e ogni sottintervallo con cambio di segno si affina per bisezione e poi iterazione di Newton finché residuo e dimensione del passo scendono sotto soglie epsilon strette.
Il rumore quasi intero si pulisce per goldens leggibili mentre irrazionali ordinari come più o meno radice di due mantengono dodici cifre significative di precisione.
Casi d'uso
Verifica di compiti e tutoraggio
Studenti e valutatori confermano ogni radice reale e molteplicità per cubiche e quartiche senza installare algebra computazionale locale, con errori chiari per un coefficiente guida zero.
Generatori di curriculum e valutazione
Banche di problemi automatizzate generano polinomi a radici intere casuali e verificano l'output del risolutore contro questo oracolo deterministico prima di pubblicare esercizi.
Domande frequenti
Cosa succede se il coefficiente guida è zero?
Il grado non è ridotto silenziosamente e la chiamata fallita non viene addebitata.
Restituisce radici complesse?
No. Solo radici reali sono restituite. Le coppie coniugate complesse non reali sono omesse di proposito affinché l'output combaci con intercette dell'asse x e la maggior parte dei compiti di radici reali di aula.
Il trova-radici di polinomi è gratuito?
Lo strumento browser gira gratis sul Suo dispositivo.
Come sono segnalate le radici multiple?
Ad esempio (x − 1)² produce roots [1] con multiplicities [2].
Con quale precisione vengono date le radici irrazionali?
Le radici che non sono intere né frazionarie, come più o meno la radice quadrata di 2, vengono affinate fino a dodici cifre significative. Le radici intere e razionali vengono cercate prima in modo esatto.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"coefficients": [
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-6,
11,
-6
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-6,11,-6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Coefficienti, grado e cosa significa «tutte le radici reali»
Scriva un polinomio univariato monico o non monico come a_n x alla n più a_{n-1} x alla n-1 fino ad a_0. L'array di input è esattamente quei numeri in quell'ordine: la prima entrata è il coefficiente guida a_n e l'ultima è il termine costante. Se il coefficiente guida è zero la richiesta fallisce con invalid_input—il motore non elimina silenziosamente zeri guida, così i chiamanti restano responsabili di dichiarare il grado previsto.
Come il risolutore combina il teorema delle radici razionali con il raffinamento numerico
L'intero percorso è aritmetica in virgola mobile pura—senza rete, senza semi casuali, senza tempo di orologio—così gli stessi coefficienti producono sempre lo stesso JSON. La validazione fallita, incluso un array di coefficienti mancante o un termine guida zero, solleva invalid_input e non viene addebitata.
Chiamare l'API, leggere la risposta, prezzi e limiti pratici
Usi lo strumento gratuito nel browser per controlli puntuali di compiti, demo di lezione e test rapidi di sanità senza installare Maxima, Mathematica o uno stack NumPy locale. Gli input di origine seguono le stesse regole di conservazione degli altri elementi parse di KIT, e i fallimenti di validazione non consumano mai saldo dopo il rifiuto del motore. Invii un corpo JSON con l'array coefficients obbligatorio di numeri finiti, grado più alto per primo; l'alias coeffs è accettato per comodità. In caso di successo la risposta ripete i coefficienti puliti, il grado, una stringa di polinomio leggibile, le radici reali distinte ordinate, un array parallelo di multiplicities, oggetti root_details strutturati, il real_root_count distinto e un'etichetta method che documenta la strategia razionale-più-numerica. Usi l'API quando una piattaforma di tutoraggio, un sandbox di valutazione codice, un generatore di curriculum o una pipeline di dati necessita di un contratto stabile sotto saldo prepagato KIT a $0.002 per voce riuscita. Il grado è limitato per sicurezza di isolamento; magnitudini di coefficienti estremamente grandi possono soffrire cancellazione come qualsiasi schema a doppia precisione, quindi preferisca input di aula e di ingegneria ben scalati.
Casi di integrazione
Pipeline numeriche leggere
Script che necessitano di radici reali di polinomi residuali di basso grado chiamano un endpoint JSON stabile invece di reimplementare ricerca di radici razionali e lucidatura di Newton in ogni linguaggio.
Domande tecniche
Come trovo radici di polinomi con questa API?
Invii JSON con coefficients come array grado più alto per primo (ad esempio [1, -6, 11, -6] per x³ − 6x² + 11x − 6). La risposta elenca ogni radice reale distinta con molteplicità.