Raízes de polinômios
Obtenha as raízes reais de um polinômio com a multiplicidade: x³ − 6x² + 11x − 6 tem as raízes 1, 2 e 3, cada uma simples. Uma raiz dupla aparece uma única vez com multiplicidade 2. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Coeficientes
- 1, -6, 11, -6
- Grau
- 3
- Polinômio
- x^3 - 6x^2 + 11x - 6
- Raízes
- 1, 2, 3
- Multiplicidades
- 1, 1, 1
Encontrar todo número real onde um polinômio se anula é habilidade central em álgebra, cálculo, engenharia e computação científica. Dada a lista de coeficientes de um polinômio univariado—grau mais alto primeiro—esta capacidade devolve cada raiz real distinta junto com sua multiplicidade. Raízes inteiras e racionais são descobertas com o teorema clássico das raízes racionais e removidas por divisão sintética; qualquer residual quadrático é resolvido em forma fechada; fatores residuais de grau maior são isolados com pontos críticos da derivada, um limite de magnitude de Cauchy, bisseção e polimento de Newton. Um coeficiente líder zero é rejeitado como entrada inválida em vez de baixar o grau em silêncio.
Coeficientes, grau e o que significa «todas as raízes reais»
O grau é um a menos que o comprimento de um array bem formado. Uma raiz real é qualquer número real r tal que p(r) é zero; pares conjugados complexos não reais são intencionalmente omitidos porque muitas tarefas de sala e de pipeline só se importam com cruzamentos reais do eixo x.
A multiplicidade conta quantas vezes (x menos r) divide p: uma raiz dupla de (x menos 1) ao quadrado aparece uma vez na lista de raízes com multiplicidade dois, o que é mais útil para gráficos e frações parciais do que listar o mesmo valor duas vezes. Polinômios constantes não nulos têm grau zero e lista de raízes vazia.
Como o solucionador combina o teorema das raízes racionais com refinamento numérico
Quando cada coeficiente está perto de um inteiro, o teorema das raízes racionais fornece um conjunto finito de candidatos: toda raiz racional em termos mínimos p sobre q tem p dividindo o termo constante e q dividindo o coeficiente líder, incluindo variantes de sinal e zero quando o termo constante some. Cada candidato é avaliado com o método de Horner; acertos são removidos por divisão sintética e o processo se repete para capturar multiplicidades.
Após a deflação racional, um residual linear produz uma raiz por divisão, e um residual quadrático usa a fórmula do discriminante, devolvendo zero, uma ou duas raízes reais. Graus residuais maiores são tratados sem bibliotecas externas: a derivada formal é resolvida recursivamente para localizar pontos críticos, um limite de Cauchy garante que todas as raízes reais jazem em um intervalo conhecido, e cada subintervalo com mudança de sinal é refinado por bisseção e depois iteração de Newton até residual e tamanho de passo caírem abaixo de limiares épsilon apertados.
Ruído quase inteiro é limpo para goldens legíveis enquanto irracionais ordinários como mais ou menos raiz de dois mantêm doze dígitos significativos de precisão.
Casos de uso
Verificação de lição e tutoria
Alunos e corretores confirmam cada raiz real e multiplicidade para cúbicas e quártica sem instalar álgebra computacional local, com erros claros para coeficiente líder zero.
Geradores de currículo e avaliação
Bancos de problemas automatizados geram polinômios de raízes inteiras aleatórias e verificam a saída do solucionador contra este oráculo determinístico antes de publicar exercícios.
Perguntas frequentes
O que acontece se o coeficiente líder for zero?
O grau não é reduzido em silêncio e a chamada falha não é cobrada.
Devolve raízes complexas?
Não. Apenas raízes reais são devolvidas. Pares conjugados complexos não reais são omitidos de propósito para que a saída combine com interceptos do eixo x e a maioria das tarefas de raízes reais de sala.
O localizador de raízes de polinômios é gratuito?
A ferramenta do navegador roda grátis no seu dispositivo.
Como raízes múltiplas são reportadas?
Por exemplo (x − 1)² produz roots [1] com multiplicities [2].
Com que precisão as raízes irracionais aparecem?
As raízes que não são inteiras nem frações, como mais ou menos a raiz quadrada de 2, são refinadas até manter doze algarismos significativos. As raízes inteiras e racionais são buscadas primeiro de forma exata.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-6,11,-6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Coeficientes, grau e o que significa «todas as raízes reais»
Escreva um polinômio univariado mônico ou não mônico como a_n x à n mais a_{n-1} x à n-1 até a_0. O array de entrada é exatamente esses números nessa ordem: a primeira entrada é o coeficiente líder a_n e a última é o termo constante. Se o coeficiente líder for zero a solicitação falha com invalid_input—o motor não elimina silenciosamente zeros líderes, de modo que os chamadores permanecem responsáveis por declarar o grau pretendido.
Como o solucionador combina o teorema das raízes racionais com refinamento numérico
Todo o caminho é aritmética de ponto flutuante pura—sem rede, sem sementes aleatórias, sem tempo de relógio—de modo que os mesmos coeficientes sempre produzem o mesmo JSON. Validação falha, incluindo array de coeficientes ausente ou termo líder zero, lança invalid_input e não é cobrada.
Chamar a API, ler a resposta, preços e limites práticos
Use a ferramenta gratuita no navegador para checagens pontuais de lição, demos de aula e testes rápidos de sanidade sem instalar Maxima, Mathematica ou uma pilha NumPy local. O grau é limitado por segurança de isolamento; magnitudes de coeficientes extremamente grandes podem sofrer cancelamento como qualquer esquema de precisão dupla, então prefira entradas de sala e de engenharia bem escaladas. Entradas de origem seguem as mesmas regras de retenção de outros itens parse do KIT, e falhas de validação nunca consomem saldo após a rejeição do motor. Envie um corpo JSON com o array coefficients obrigatório de números finitos, grau mais alto primeiro; o alias coeffs é aceito por conveniência. Em caso de sucesso a resposta ecoa os coeficientes limpos, o grau, uma string de polinômio legível, as raízes reais distintas ordenadas, um array paralelo de multiplicities, objetos root_details estruturados, o real_root_count distinto e um rótulo method documentando a estratégia racional-mais-numérica. Use a API quando uma plataforma de tutoria, sandbox de avaliação de código, gerador de currículo ou pipeline de dados precisar de um contrato estável sob saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por item bem-sucedido.
Casos de integração
Pipelines numéricos leves
Scripts que precisam de raízes reais de polinômios residuais de baixo grau chamam um endpoint JSON estável em vez de reimplementar busca de raízes racionais e polimento de Newton em cada linguagem.
Perguntas técnicas
Como encontro raízes de polinômios com esta API?
Envie JSON com coefficients como um array grau mais alto primeiro (por exemplo [1, -6, 11, -6] para x³ − 6x² + 11x − 6). A resposta lista cada raiz real distinta com multiplicidade.