Teorema da raiz racional
Para 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2, as raízes racionais possíveis são ±1, ±2 e ±1/2: seis candidatos formados pelos divisores do termo independente e do coeficiente líder. Você recebe a lista; testar cada um é o próximo passo. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Coeficientes
- 2, -3, -3, 2
- Grau
- 3
- Polinômio
- 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2
- Coeficiente líder
- 2
- Termo constante
- 2
O teorema da raiz racional é a primeira ferramenta a que a maioria dos estudantes de álgebra recorre quando um polinômio parece confuso: antes da divisão sintética ou de uma calculadora gráfica, você precisa de uma lista finita de possíveis raízes racionais. Dado um array de coeficientes inteiros do maior para o menor grau, esta capacidade devolve cada candidato da forma p sobre q em que p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder, incluindo ambos os sinais e valores reduzidos à forma irredutível.
Como os candidatos são gerados: fatores, sinais e frações reduzidas
O motor toma os valores absolutos do termo constante e do coeficiente líder e enumera todo divisor positivo de cada um. Essas duas listas de divisores são os conjuntos de fatores de p e de fatores de q. Cada par (p absoluto, q absoluto) é reduzido pelo máximo divisor comum para que as frações apareçam na forma irredutível; em seguida ambos os sinais, positivo e negativo, são aplicados ao numerador.
Nada neste caminho avalia o polinômio nos candidatos: listar possíveis é separado de propósito de testar quais são raízes reais, para que passos de tarefa que pedem só a lista possível permaneçam honestos.
Como ler o resultado e onde aplicá-lo
Use a ferramenta gratuita no navegador para checagens pontuais de tarefa, demos de aula e testes rápidos de sanidade sem instalar Maxima, SymPy ou um CAS local. O grau é limitado e as magnitudes dos coeficientes são limitadas por segurança de isolamento; inteiros muito grandes com muitos divisores permanecem finitos mas podem produzir listas longas de candidatos, então prefira entradas de escala de sala de aula. Quando precisar de raízes reais efetivas e não só candidatos, combine esta lista com divisão sintética ou chame uma capacidade de busca de raízes.
As entradas de origem seguem as mesmas regras de retenção que outros itens parse de KIT, e falhas de validação nunca consomem saldo depois que o motor rejeita a requisição.
Casos de uso
Verificação de tarefas e tutoria
Alunos e avaliadores confirmam a lista completa de possíveis raízes racionais para cúbicas e quárticas antes de testar fatores com divisão sintética, com erros claros quando o termo constante ou o coeficiente líder é zero.
Geradores de currículo e avaliação
Bancos de problemas automatizados montam exercícios de coeficientes inteiros e verificam se as chaves de resposta impressas coincidem com este oráculo determinístico de candidatos antes de publicar folhas de exercícios.
Perguntas frequentes
Isto indica quais candidatos são raízes reais?
Não. Apenas lista as possíveis raízes racionais segundo o teorema. Teste os candidatos com divisão sintética ou use um buscador de raízes polinomiais se precisar de raízes confirmadas.
A calculadora do teorema da raiz racional é gratuita?
A ferramenta do navegador roda grátis no seu dispositivo.
Os coeficientes precisam ser inteiros?
Sim. O teorema clássico da raiz racional aplica-se a coeficientes inteiros.
O que acontece se o coeficiente líder ou o termo independente for zero?
O cálculo é recusado. O teorema exige que os dois sejam diferentes de zero; em vez de supor um grau menor ou tratar o zero como raiz, a calculadora pede que você revise os coeficientes.
Como digito o polinômio na calculadora?
Digite os coeficientes inteiros da maior potência até o termo independente. Para 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 são 2, -3, -3 e 2, e o resultado são seis candidatos: ±1, ±2 e ±1/2.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[2,-3,-3,2]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
2,
-3,
-3,
2
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
2,
-3,
-3,
2
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[2,-3,-3,2]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[2,-3,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"coefficients": [
2,
-3,
-3,
2
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.rational_root",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Um coeficiente líder nulo ou um termo constante nulo é rejeitado com invalid_input para que quem chama nunca receba um conjunto de candidatos truncado em silêncio ou infinito.
O que o teorema da raiz racional afirma e como codificar o seu polinômio
O grau é um a menos que o comprimento de um array bem formado e deve ser pelo menos um, de modo que você sempre envia um termo líder e um termo constante. Coeficientes do meio podem ser zero; isso só significa uma potência de x ausente e não muda o teorema. Os coeficientes devem ser inteiros ou quase inteiros que se ajustem de forma limpa, porque o enunciado clássico do teorema é para anéis de coeficientes inteiros. Escreva um polinômio univariado com coeficientes inteiros como a_n x à n mais a_{n-1} x à n-1 até o termo constante a_0. O array de entrada são exatamente esses inteiros nessa ordem: a primeira entrada é o coeficiente líder a_n e a última é o termo constante a_0. O teorema diz que toda raiz racional escrita na forma irredutível como p sobre q tem p dividindo a_0 e q dividindo a_n. O que não pode ser zero nesta capacidade é o coeficiente líder e o termo constante: se qualquer um se anular, a requisição falha com invalid_input em vez de adivinhar um grau menor ou tratar zero como raiz livre fora da lista finita clássica.
Como os candidatos são gerados: fatores, sinais e frações reduzidas
Valores numéricos duplicados que surgem de equivalentes não reduzidos são colapsados, e a lista final é ordenada de forma crescente para um JSON estável. A resposta devolve os coeficientes limpos, o grau, uma string de polinômio legível, os coeficientes líder e constante, as listas de fatores positivos, os candidatos numéricos, strings de fração paralelas como 1/2 ou -3, candidate_details estruturados com p, q, value e fraction, o candidate_count e um rótulo method fixo em rational_root_theorem. Validação falha — array ausente, entradas não inteiras, termo líder zero ou termo constante zero — lança invalid_input e não é cobrada.
Chamar a API, ler a resposta, preços e encaixe em fluxos reais
Envie um corpo JSON com o array coefficients de inteiros obrigatório, do maior para o menor grau; o alias coeffs é aceito por conveniência. Em caso de sucesso use candidates ou candidates_as_fractions para exibição, e candidate_details quando precisar de numeradores e denominadores exatos para laços de divisão sintética ou explicações passo a passo. Use a API quando uma plataforma de tutoria, um sandbox de avaliação de código, um gerador de currículo ou um pipeline de dados precisar de um contrato estável sob saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por item bem-sucedido.
Casos de integração
Pipelines de álgebra passo a passo
Apps que ensinam fatoração primeiro emitem candidatos do teorema a partir deste ponto de API e depois guiam o aprendiz a testar cada valor sem reimplementar a enumeração de divisores em cada linguagem.
Perguntas técnicas
Como listo candidatos do teorema da raiz racional com esta API?
Envie JSON com coefficients como array de inteiros do maior para o menor grau (por exemplo [2, -3, -3, 2] para 2x³ − 3x² − 3x + 2). A resposta lista cada candidato distinto p/q com fatores, frações e contagens.
O que acontece se o coeficiente líder ou o termo constante for zero?
A requisição falha com invalid_input e uma mensagem de que tanto o coeficiente líder quanto o termo constante devem ser não nulos. A chamada falha não é cobrada.