Théorème des racines rationnelles
Pour 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2, les racines rationnelles possibles sont ±1, ±2 et ±1/2 : six candidats formés à partir des diviseurs du terme constant et du coefficient dominant. Vous obtenez la liste ; les tester est l’étape suivante. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Coefficients entiers
- 2, -3, -3, 2
- Degré
- 3
- Polynôme
- 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2
- Coefficient dominant
- 2
- Terme constant
- 2
Le théorème des racines rationnelles est le premier outil auquel la plupart des étudiants en algèbre recourent lorsqu'un polynôme paraît embrouillé : avant la division synthétique ou une calculatrice graphique, vous avez besoin d'une liste finie de racines rationnelles possibles. À partir d'un tableau de coefficients entiers du plus haut au plus bas degré, cette capacité renvoie chaque candidat de la forme p sur q où p divise le terme constant et q divise le coefficient dominant, y compris les deux signes et les valeurs réduites aux termes les plus simples.
Comment les candidats sont générés : facteurs, signes et fractions réduites
Le moteur prend les valeurs absolues du terme constant et du coefficient dominant et énumère tout diviseur positif de chacun. Ces deux listes de diviseurs sont les ensembles de facteurs de p et de facteurs de q. Chaque paire (p absolu, q absolu) est réduite par leur plus grand commun diviseur pour que les fractions apparaissent sous forme irréductible, puis les deux signes positif et négatif sont appliqués au numérateur.
Rien dans ce chemin n'évalue le polynôme aux candidats : lister les possibles est volontairement séparé du test de quelles valeurs sont des racines réelles, afin que les étapes de devoir qui demandent seulement la liste possible restent honnêtes.
Lire le résultat et savoir où l’utiliser
Utilisez l'outil gratuit dans le navigateur pour des vérifications ponctuelles de devoirs, des démonstrations en cours et des tests rapides de cohérence sans installer Maxima, SymPy ou un CAS local. Le degré est plafonné et les magnitudes des coefficients sont bornées pour la sécurité d'isolement ; de très grands entiers avec de nombreux diviseurs restent finis mais peuvent produire de longues listes de candidats, donc privilégiez des entrées à l'échelle d'une classe.
Lorsque vous avez besoin des racines réelles effectives plutôt que des seuls candidats, couplez cette liste à la division synthétique ou appelez une capacité de recherche de racines. Les entrées source suivent les mêmes règles de conservation que les autres éléments parse de KIT, et les échecs de validation ne consomment jamais de solde après le rejet par le moteur.
Cas d’usage
Vérification de devoirs et tutorat
Élèves et correcteurs confirment la liste complète des racines rationnelles possibles pour cubiques et quartiques avant de tester les facteurs par division synthétique, avec des erreurs claires lorsque le terme constant ou le coefficient dominant est nul.
Générateurs de curriculum et d'évaluation
Des banques d'exercices automatisées construisent des problèmes à coefficients entiers et vérifient que les corrigés imprimés correspondent à cet oracle déterministe de candidats avant de publier des feuilles de travail.
Pipelines d'algèbre pas à pas
Les applications qui enseignent d'abord la factorisation émettent les candidats du théorème depuis ce point de terminaison, puis guident l'apprenant pour tester chaque valeur sans réimplémenter l'énumération des diviseurs dans chaque langage.
Questions fréquentes
Cela indique-t-il quels candidats sont de véritables racines ?
Non. Cela ne liste que les racines rationnelles possibles selon le théorème. Testez les candidats par division synthétique ou utilisez un chercheur de racines polynomiales si vous avez besoin de racines confirmées.
Les coefficients doivent-ils être des entiers ?
Oui. Le théorème classique des racines rationnelles s'applique aux coefficients entiers.
Que se passe-t-il si le coefficient dominant ou le terme constant est nul ?
Le calcul est refusé. Le théorème exige que les deux soient non nuls ; au lieu de supposer un degré inférieur ou de traiter zéro comme une racine, la calculatrice vous invite à vérifier les coefficients.
Comment saisir le polynôme dans la calculatrice ?
Saisissez les coefficients entiers de la plus haute puissance jusqu’au terme constant. Pour 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2, ce sont 2, -3, -3 et 2, et le résultat compte six candidats : ±1, ±2 et ±1/2.
Les coefficients intermédiaires peuvent-ils être nuls ?
Oui. Un coefficient intermédiaire nul indique simplement qu’une puissance de x manque ; cela ne change rien au théorème, qui ne dépend que du terme constant et du coefficient dominant.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[2,-3,-3,2]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
2,
-3,
-3,
2
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
2,
-3,
-3,
2
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[2,-3,-3,2]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[2,-3,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"coefficients": [
2,
-3,
-3,
2
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.rational_root",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Un coefficient dominant nul ou un terme constant nul est rejeté avec invalid_input afin que les appelants ne reçoivent jamais un ensemble de candidats tronqué en silence ou infini.
Ce qu'affirme le théorème des racines rationnelles et comment encoder votre polynôme
Le degré est inférieur d'une unité à la longueur d'un tableau bien formé et doit être au moins un, de sorte que vous envoyez toujours un terme dominant et un terme constant. Les coefficients intermédiaires peuvent être nuls ; cela signifie simplement une puissance de x manquante et ne modifie pas le théorème. Les coefficients doivent être des entiers ou des quasi-entiers qui se calent proprement, car l'énoncé classique du théorème concerne les anneaux de coefficients entiers. Écrivez un polynôme univarié à coefficients entiers sous la forme a_n x à la n plus a_{n-1} x à la n-1 jusqu'au terme constant a_0. Le tableau d'entrée est exactement ces entiers dans cet ordre : la première entrée est le coefficient dominant a_n et la dernière est le terme constant a_0. Le théorème affirme que toute racine rationnelle écrite sous forme irréductible p sur q a p qui divise a_0 et q qui divise a_n. Ce qui ne doit pas être nul dans cette capacité, c'est le coefficient dominant et le terme constant : si l'un s'annule, la requête échoue avec invalid_input plutôt que de deviner un degré inférieur ou de traiter zéro comme racine libre hors de la liste finie classique.
Comment les candidats sont générés : facteurs, signes et fractions réduites
Les valeurs numériques en double issues d'équivalents non réduits sont fusionnées, et la liste finale est triée par ordre croissant pour un JSON stable. La réponse renvoie les coefficients nettoyés, le degré, une chaîne polynomiale lisible, les coefficients dominant et constant, les listes de facteurs positifs, les candidats numériques, des chaînes de fractions parallèles telles que 1/2 ou -3, des candidate_details structurés avec p, q, value et fraction, le candidate_count et une étiquette method fixée à rational_root_theorem. Une validation échouée — tableau manquant, entrées non entières, terme dominant nul ou terme constant nul — lève invalid_input et n'est pas facturée.
Appeler l'API, lire la réponse, tarification et place dans les flux réels
Envoyez un corps JSON avec le tableau coefficients d'entiers requis, du plus haut au plus bas degré ; l'alias coeffs est accepté par commodité. En cas de succès, utilisez candidates ou candidates_as_fractions pour l'affichage, et candidate_details lorsque vous avez besoin des numérateurs et dénominateurs exacts pour des boucles de division synthétique ou des explications pas à pas. Utilisez l'API lorsqu'une plateforme de tutorat, un bac à sable d'évaluation de code, un générateur de curriculum ou un pipeline de données a besoin d'un contrat stable sous solde KIT prépayé à $0.002 par élément réussi.
Questions techniques
Comment lister les candidats du théorème des racines rationnelles avec cette API ?
Envoyez un JSON avec coefficients comme tableau d'entiers du plus haut au plus bas degré (par exemple [2, -3, -3, 2] pour 2x³ − 3x² − 3x + 2). La réponse liste chaque candidat distinct p/q avec facteurs, fractions et décomptes.
Que se passe-t-il si le coefficient dominant ou le terme constant est nul ?
La requête échoue avec invalid_input et un message indiquant que le coefficient dominant et le terme constant doivent tous deux être non nuls. L'appel échoué n'est pas facturé.
La calculatrice du théorème des racines rationnelles est-elle gratuite ?
L'outil navigateur s'exécute gratuitement sur votre appareil. Les appels API utilisent le solde KIT prépayé à $0.002 par élément réussi ; les échecs de validation ne sont pas facturés.