ForHosting KIT · الرياضيات

نظرية الجذر النسبي

الجذور النسبية الممكنة لكثير الحدود 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 هي ±1 و±2 و±1/2: ستة مرشحين من قواسم الحد الثابت وقواسم المعامل الرئيس. تحصلون على القائمة، واختبار كل مرشح هو الخطوة التالية. مجانا في متصفحكم.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

المعاملات: 2, ‎-3, ‎-3, 2

تحصل على

الدرجة: 3
متعدد الحدود: 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2
المعامل القائد: 2
الحد الثابت: 2

نظرية الجذر النسبي هي الأداة الأولى التي يلجأ إليها معظم طلاب الجبر عندما يبدو متعدد الحدود معقدًا: قبل القسمة التركيبية أو الآلة الحاسبة البيانية، تحتاجون إلى قائمة منتهية من الجذور النسبية الممكنة. عند إعطاء مصفوفة معاملات صحيحة من أعلى درجة إلى أدناها، تُرجع هذه القدرة كل مرشح من الشكل p على q حيث يقسم p الحد الثابت ويقسم q المعامل القائد، بما في ذلك كلا الإشارتين والقيم المختزلة إلى أبسط صورة.

كيف تُولَّد المرشحات: العوامل والإشارات والكسور المختزلة

يأخذ المحرك القيم المطلقة للحد الثابت والمعامل القائد ويعدد كل قاسم موجب لكل منهما. هاتان قائمتا القواسم هما مجموعتا عوامل p وعوامل q. يُختزل كل زوج (p مطلق، q مطلق) بالقسمة على القاسم المشترك الأعظم لتظهر الكسور بأبسط صورة، ثم تُطبَّق على البسط الإشارتان الموجبة والسالبة.

لا يقيّم هذا المسار متعدد الحدود عند المرشحين: سرد الممكنات منفصل عمدًا عن اختبار أيها جذور فعلية، فتبقى خطوات الواجب التي تطلب القائمة الممكنة فقط صادقة.

كيف تقرؤون الناتج وأين تستخدمونه

استخدموا الأداة المجانية في المتصفح لفحوصات واجبات فردية وعروض محاضرة واختبارات سلامة سريعة دون تثبيت Maxima أو SymPy أو CAS محلي. الدرجة محدودة ومقادير المعاملات مقيّدة لسلامة العزل؛ تبقى الأعداد الصحيحة الضخمة ذات القواسم الكثيرة منتهية لكنها قد تنتج قوائم مرشحين طويلة، ففضّلوا مدخلات بمقياس الصف. النتائج حتمية وآمنة للتثبيت في تجهيزات التكامل المستمر.

عندما تحتاجون جذورًا حقيقية فعلية لا المرشحين وحدهم، اقرنوا هذه القائمة بالقسمة التركيبية أو استدعوا قدرة إيجاد الجذور. تتبع مدخلات المصدر قواعد الاحتفاظ نفسها لعناصر parse الأخرى في KIT، ولا تستهلك إخفاقات التحقق الرصيد أبدًا بعد رفض المحرك للطلب.

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والتدريس

يؤكد الطلاب والمصححون القائمة الكاملة للجذور النسبية الممكنة للتكعيبيات والرباعيات قبل اختبار العوامل بالقسمة التركيبية، مع أخطاء واضحة عندما يكون الحد الثابت أو المعامل القائد صفرًا.

مولّدات المناهج والتقييم

تبني بنوك مسائل آلية تمارين بمعاملات صحيحة وتتحقق من أن مفاتيح الإجابات المطبوعة تطابق هذا الوحي الحتمي للمرشحين قبل نشر أوراق العمل.

مسارات جبر خطوة بخطوة

تصدر التطبيقات التي تدرّس التحليل أولًا مرشحي النظرية من هذه النقطة الطرفية، ثم ترافق المتعلم في اختبار كل قيمة دون إعادة تنفيذ تعداد القواسم في كل لغة.

الأسئلة الشائعة

هل يبيّن هذا أي المرشحين جذور فعلية؟

لا. يسرد فقط الجذور النسبية الممكنة وفق النظرية. اختبروا المرشحين بالقسمة التركيبية أو استخدموا باحث جذور لمتعددات الحدود إن احتجتم جذورًا مؤكدة.

هل يجب أن تكون المعاملات أعدادًا صحيحة؟

نعم. تنطبق نظرية الجذر النسبي الكلاسيكية على المعاملات الصحيحة.

ماذا يحدث إذا كان المعامل الرئيس أو الحد الثابت صفرا؟

يرفض الحساب. فالنظرية تتطلب أن يكون كلاهما غير صفري، وبدلا من افتراض درجة أقل أو معاملة الصفر كجذر، تطلب منكم الحاسبة مراجعة المعاملات.

كيف أدخل كثير الحدود في الحاسبة؟

أدخلوا المعاملات الصحيحة من أعلى قوة حتى الحد الثابت. في 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 تكون 2 و-3 و-3 و2، والناتج ستة مرشحين: ±1 و±2 و±1/2.

هل يمكن أن تكون المعاملات الوسطى صفرا؟

نعم، فالمعامل الأوسط الصفري يعني فقط أن إحدى قوى x غير موجودة. ولا يغيّر ذلك شيئا في النظرية، لأنها تعتمد على الحد الثابت والمعامل الرئيس وحدهما.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[2,-3,-3,2]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      2,
      -3,
      -3,
      2
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        2,
        -3,
        -3,
        2
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[2,-3,-3,2]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[2,-3,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "coefficients": [
    2,
    -3,
    -3,
    2
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.rational_root",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

يُرفض معامل قائد صفري أو حد ثابت صفري بـ invalid_input حتى لا يتلقى المستدعون أبدًا مجموعة مرشحين مقطوعة بصمت أو غير منتهية. الحساب حتمي بالكامل، ومجاني في عنصر المتصفح، ومتاح كعناصر API مدفوعة مسبقًا لمدققي الواجبات ومنصات التدريس ومولّدات المناهج ومسارات الجبر الخفيفة التي تحتاج عقد JSON مستقرًا دون تثبيت نظام جبر حاسوبي.

ما تقرّره نظرية الجذر النسبي وكيف ترمّزون متعدد الحدود

الدرجة أقل بواحد من طول مصفوفة سليمة ويجب ألا تقل عن واحد، لذلك ترسلون دائمًا حدًا قائدًا وحدًا ثابتًا. يجوز أن تكون المعاملات الوسطى صفرًا؛ وذلك يعني فقط قوة غائبة لـ x ولا يغيّر النظرية. يجب أن تكون المعاملات صحيحة أو شبه صحيحة تُقرَّب بنظافة، لأن الصياغة الكلاسيكية للنظرية تخص حلقات المعاملات الصحيحة. اكتبوا متعدد حدود بمتغير واحد ومعاملات صحيحة على صورة a_n x مرفوعة إلى n زائد a_{n-1} x مرفوعة إلى n-1 وصولًا إلى الحد الثابت a_0. مصفوفة الإدخال هي تلك الأعداد الصحيحة بذلك الترتيب تمامًا: المدخل الأول هو المعامل القائد a_n والأخير هو الحد الثابت a_0. تقول النظرية إن كل جذر نسبي مكتوب بأبسط صورة p على q يكون p قاسمًا لـ a_0 وq قاسمًا لـ a_n. ما يجب ألا يكون صفرًا في هذه القدرة هو المعامل القائد والحد الثابت: إن اختفى أحدهما تفشل الطلبية بـ invalid_input بدل تخمين درجة أدنى أو معاملة الصفر كجذر حر خارج القائمة المنتهية الكلاسيكية.

كيف تُولَّد المرشحات: العوامل والإشارات والكسور المختزلة

تُدمج القيم العددية المكررة الناشئة عن مكافئات غير مختزلة، وتُرتَّب القائمة النهائية تصاعديًا لاستقرار JSON. تعيد الاستجابة المعاملات المنظفة والدرجة وسلسلة متعددة حدود مقروءة والمعاملين القائد والثابت وقوائم العوامل الموجبة والمرشحين العدديين وسلاسل كسور موازية مثل 1/2 أو -3 وcandidate_details منظَّمة تتضمن p وq وvalue وfraction وcandidate_count وتسمية method ثابتة على rational_root_theorem. فشل التحقق — مصفوفة ناقصة أو مداخل غير صحيحة أو حد قائد صفري أو حد ثابت صفري — يطلق invalid_input ولا يُحسب عليه.

استدعاء API وقراءة الاستجابة والتسعير ومكانها في سير العمل الحقيقي

أرسلوا جسم JSON يتضمن مصفوفة coefficients المطلوبة من أعداد صحيحة، أعلى درجة أولًا؛ يُقبل الاسم البديل coeffs للتيسير. عند النجاح استخدموا candidates أو candidates_as_fractions للعرض، وcandidate_details عندما تحتاجون البسوط والمقامات الدقيقة لحلقات القسمة التركيبية أو الشروح خطوة بخطوة. استخدموا API عندما تحتاج منصة تدريس أو بيئة تقييم برمجي أو مولّد مناهج أو مسار بيانات عقدًا مستقرًا تحت رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح.

أسئلة تقنية

كيف أسرد مرشحي نظرية الجذر النسبي بهذه الـ API؟

أرسلوا JSON مع coefficients كمصفوفة أعداد صحيحة من أعلى درجة أولًا (مثلًا [2, -3, -3, 2] لـ 2x³ − 3x² − 3x + 2). تسرد الاستجابة كل مرشح متميز p/q مع العوامل والكسور والأعداد.

ماذا يحدث إذا كان المعامل القائد أو الحد الثابت صفرًا؟

تفشل الطلبية بـ invalid_input ورسالة بأن المعامل القائد والحد الثابت يجب أن يكونا غير صفريين. لا تُحسب المكالمة الفاشلة.

هل حاسبة نظرية الجذر النسبي مجانية؟

تعمل أداة المتصفح مجانًا على جهازكم. تستعمل مكالمات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ ولا تُحسب إخفاقات التحقق.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

كيف تُولَّد المرشحات: العوامل والإشارات والكسور المختزلة

كيف تقرؤون الناتج وأين تستخدمونه

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والتدريس

مولّدات المناهج والتقييم

مسارات جبر خطوة بخطوة

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما تقرّره نظرية الجذر النسبي وكيف ترمّزون متعدد الحدود

كيف تُولَّد المرشحات: العوامل والإشارات والكسور المختزلة

استدعاء API وقراءة الاستجابة والتسعير ومكانها في سير العمل الحقيقي

أسئلة تقنية

شكرًا