Teorema de la raíz racional
Para 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2, las raíces racionales posibles son ±1, ±2 y ±1/2: seis candidatos formados con los divisores del término independiente y del coeficiente principal. Usted obtiene la lista; comprobarlos es el paso siguiente. Gratis en su navegador.
- Gratis
- Funciona en su navegador
- Sin registro
- Sus datos no salen de su equipo
Ejecutar — gratis
Ejemplo resuelto
- Coeficientes
- 2, -3, -3, 2
- Grado
- 3
- Polinomio
- 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2
- Coeficiente líder
- 2
- Término independiente
- 2
El teorema de la raíz racional es la primera herramienta a la que recurren la mayoría de los estudiantes de álgebra cuando un polinomio parece enredado: antes de la división sintética o de una calculadora gráfica, usted necesita una lista finita de posibles raíces racionales. Dado un arreglo de coeficientes enteros de mayor a menor grado, esta capacidad devuelve cada candidato de la forma p sobre q donde p divide el término independiente y q divide el coeficiente líder, incluyendo ambos signos y valores reducidos a su mínima expresión.
Cómo se generan los candidatos: factores, signos y fracciones reducidas
El motor toma los valores absolutos del término independiente y del coeficiente líder y enumera todo divisor positivo de cada uno. Esas dos listas de divisores son los conjuntos de factores de p y de factores de q. Cada par (p absoluto, q absoluto) se reduce por su máximo común divisor para que las fracciones aparezcan en su mínima expresión; después se aplican al numerador ambos signos, positivo y negativo.
Nada en este camino evalúa el polinomio en los candidatos: listar posibles se separa a propósito de comprobar cuáles son raíces reales, de modo que los pasos de tarea que piden solo la lista posible se mantienen honestos.
Cómo leer el resultado y dónde aplicarlo
Use la herramienta gratuita en el navegador para comprobaciones puntuales de tareas, demostraciones en clase y pruebas rápidas de sanidad sin instalar Maxima, SymPy o un CAS local. El grado está acotado y las magnitudes de los coeficientes están limitadas por seguridad de aislamiento; enteros muy grandes con muchos divisores siguen siendo finitos pero pueden producir listas largas de candidatos, así que prefiera entradas de escala de aula.
Cuando necesite raíces reales efectivas y no solo candidatos, combine esta lista con división sintética o invoque una capacidad de búsqueda de raíces. Las entradas de origen siguen las mismas reglas de retención que otros ítems parse de KIT, y los fallos de validación nunca consumen saldo después de que el motor rechaza la petición.
Qué puede hacer con ella
Verificación de tareas y tutoría
Estudiantes y evaluadores confirman la lista completa de posibles raíces racionales para cúbicas y cuárticas antes de probar factores con división sintética, con errores claros cuando el término independiente o el coeficiente líder es cero.
Generadores de currículo y evaluación
Bancos de problemas automatizados construyen ejercicios de coeficientes enteros y verifican que las claves de respuesta impresas coincidan con este oráculo determinista de candidatos antes de publicar hojas de trabajo.
Preguntas frecuentes
¿Indica esto cuáles candidatos son raíces reales?
No. Solo lista las posibles raíces racionales según el teorema. Pruebe los candidatos con división sintética o use un buscador de raíces polinómicas si necesita raíces confirmadas.
¿Es gratuita la calculadora del teorema de la raíz racional?
La herramienta del navegador se ejecuta gratis en su dispositivo.
¿Deben ser enteros los coeficientes?
Sí. El teorema clásico de la raíz racional se aplica a coeficientes enteros.
¿Qué pasa si el coeficiente principal o el término independiente es cero?
El cálculo se rechaza. El teorema necesita que ambos sean distintos de cero; en lugar de suponer un grado menor o tratar el cero como raíz, la calculadora le pide revisar los coeficientes.
¿Cómo escribo el polinomio en la calculadora?
Escriba los coeficientes enteros desde la potencia mayor hasta el término independiente. Para 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 son 2, -3, -3 y 2, y el resultado son seis candidatos: ±1, ±2 y ±1/2.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[2,-3,-3,2]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
2,
-3,
-3,
2
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
2,
-3,
-3,
2
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[2,-3,-3,2]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[2,-3,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-root", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"coefficients": [
2,
-3,
-3,
2
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.rational_root",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Un coeficiente líder nulo o un término independiente nulo se rechaza con invalid_input para que quien invoca no reciba nunca un conjunto de candidatos truncado en silencio o infinito.
Qué afirma el teorema de la raíz racional y cómo codificar su polinomio
El grado es uno menos que la longitud de un arreglo bien formado y debe ser al menos uno, de modo que usted siempre envía un término líder y un término independiente. Los coeficientes intermedios pueden ser cero; eso solo significa una potencia de x ausente y no altera el teorema. Los coeficientes deben ser enteros o casi enteros que se ajusten con limpieza, porque el enunciado clásico del teorema es para anillos de coeficientes enteros. Escriba un polinomio univariado con coeficientes enteros como a_n x a la n más a_{n-1} x a la n-1 hasta el término independiente a_0. El arreglo de entrada son exactamente esos enteros en ese orden: la primera entrada es el coeficiente líder a_n y la última es el término independiente a_0. El teorema afirma que toda raíz racional escrita en su mínima expresión como p sobre q tiene p que divide a_0 y q que divide a_n. Lo que no puede ser cero en esta capacidad es el coeficiente líder y el término independiente: si alguno se anula, la petición falla con invalid_input en lugar de adivinar un grado menor o tratar el cero como raíz libre fuera de la lista finita clásica.
Cómo se generan los candidatos: factores, signos y fracciones reducidas
Los valores numéricos duplicados que surgen de equivalentes no reducidos se colapsan, y la lista final se ordena de forma ascendente para un JSON estable. La respuesta devuelve los coeficientes limpios, el grado, una cadena de polinomio legible, los coeficientes líder e independiente, las listas de factores positivos, los candidatos numéricos, cadenas de fracción paralelas como 1/2 o -3, candidate_details estructurados con p, q, value y fraction, el candidate_count y una etiqueta method fijada a rational_root_theorem. Una validación fallida —arreglo ausente, entradas no enteras, término líder cero o término independiente cero— lanza invalid_input y no se cobra.
Llamar a la API, leer la respuesta, precios y encaje en flujos reales
Envíe un cuerpo JSON con el arreglo coefficients de enteros obligatorio, de mayor a menor grado; el alias coeffs se acepta por comodidad. En caso de éxito use candidates o candidates_as_fractions para mostrar, y candidate_details cuando necesite numeradores y denominadores exactos para bucles de división sintética o explicaciones paso a paso. Use la API cuando una plataforma de tutoría, un sandbox de evaluación de código, un generador de currículo o una tubería de datos necesite un contrato estable bajo saldo prepago KIT a $0.002 por ítem exitoso.
Casos de integración
Tuberías de álgebra paso a paso
Aplicaciones que enseñan factorización primero emiten candidatos del teorema desde este extremo de API y luego guían al aprendiz a probar cada valor sin reimplementar la enumeración de divisores en cada lenguaje.
Preguntas técnicas
¿Cómo listo candidatos del teorema de la raíz racional con esta API?
Envíe JSON con coefficients como arreglo de enteros de mayor a menor grado (por ejemplo [2, -3, -3, 2] para 2x³ − 3x² − 3x + 2). La respuesta enumera cada candidato distinto p/q con factores, fracciones y conteos.
¿Qué ocurre si el coeficiente líder o el término independiente es cero?
La petición falla con invalid_input y un mensaje de que tanto el coeficiente líder como el término independiente deben ser no nulos. La llamada fallida no se cobra.