Calculadora de división sintética
Al dividir x^3 - 6x^2 + 11x - 6 entre x - 2 se obtiene x^2 - 4x + 3 con resto 0, así que 2 es raíz y la división es exacta. Escriba los coeficientes y r para obtener el cociente y el resto. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Coeficientes
- 1, -6, 11, -6
- Resistencia (Ω)
- 2
- Grado
- 3
- Divisor lineal
- x - 2
- Coeficientes del divisor
- 1, -2
- Cociente
- 1, -4, 3
La división sintética es el algoritmo rápido de aula para dividir un polinomio univariado denso por un factor lineal mónico de la forma x menos r. Dados la lista de coeficientes de mayor grado primero y el valor r, esta capacidad ejecuta el tableau sintético clásico, devuelve el arreglo de coeficientes del cociente un grado menor que el dividendo e informa el resto como un solo número. Cuando el resto es cero, r es una raíz y el cociente es un factor exacto, el puente entre el teorema del factor y la factorización polinómica.
Qué calcula la división sintética y cómo enviar coeficientes
El divisor lineal mónico es x menos r; puede enviar r directamente, o un arreglo divisor de dos coeficientes que representa cualquier polinomio lineal no nulo a x más b, del que el motor recupera r igual a menos b sobre a. La división sintética produce entonces un cociente de grado n menos uno cuyos coeficientes son la fila interior del tableau clásico, más un resto único igual a p de r por el teorema del resto.
Si ese resto es cero, el dividendo se factoriza exactamente como (x menos r) por el cociente, que es el teorema del factor de los cursos de álgebra. Los dividendos solo constantes se rechazan porque no hay paso de división genuino; los grados extremadamente altos se limitan por seguridad del isolate.
Ejecutar el tableau sintético y leer cociente más resto
Baje el coeficiente principal en línea recta; multiplique por r y sume ese producto al siguiente coeficiente del dividendo; repita hasta plegar cada coeficiente. Los números escritos en la fila inferior antes de la última celda son los coeficientes del cociente de mayor grado primero; la celda final es el resto. El mismo proceso es evaluación de Horner de p en r cuando solo se conserva la última celda, por eso un resto cero prueba que r es raíz sin un paso de evaluación aparte.
Coeficientes ausentes, r ausente cuando no se da divisor, pares r y divisor contradictorios y entradas no finitas fallan del mismo modo y no se cobran.
Qué puede hacer con ella
Verificación de deberes y tutoría
Estudiantes y correctores confirman coeficientes del cociente y resto para dividendos cúbicos y cuárticos divididos por x − r, con errores claros cuando se envía un divisor no lineal.
Teorema del factor y raíces racionales
Herramientas de currículo prueban raíces candidatas por división sintética y muestran factorización exacta cuando el resto es cero, sin instalar un paquete de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si el divisor no es lineal?
La división sintética solo admite factores lineales mónicos x − r (o un divisor lineal equivalente de dos coeficientes). Los no lineales se rechazan y no se cobran.
¿Qué significa un resto cero?
Por el teorema del factor, r es raíz del dividendo y el cociente es un factor polinómico exacto.
¿La calculadora de división sintética es gratuita?
La herramienta del navegador corre gratis en su dispositivo.
¿Puedo enviar el divisor como coeficientes en lugar de r?
Sí. Proporcione divisor como arreglo de longitud 2 [a, b] para a x + b. El motor recupera r = −b/a.
¿Cómo se hace la división sintética paso a paso?
Baje el coeficiente principal, multiplíquelo por r y sume el resultado al siguiente coeficiente; repita hasta el final. Con 1, -6, 11, -6 y r igual a 2, la fila inferior es 1, -4, 3, y la última casilla, 0, es el resto.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-6,11,-6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/synthetic-division", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"coefficients": [
1,
-6,
11,
-6
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.synthetic_division",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Los divisores no lineales se rechazan con invalid_input en lugar de caer en silencio a la división larga, de modo que el contrato coincide con lo que la división sintética puede calcular legalmente.
Qué calcula la división sintética y cómo enviar coeficientes
Escriba el dividendo como a_n x a la n más a_{n-1} x a la n-1 hasta la constante a_0, y empaquete esos números en un arreglo de mayor grado primero de modo que la primera entrada sea el coeficiente principal y la última el término independiente. El grado debe ser al menos uno y el coeficiente principal no nulo: un término principal cero es invalid_input para que quien llama declare el grado previsto.
Ejecutar el tableau sintético y leer cociente más resto
Esta capacidad siempre devuelve números finitos limpios, una cadena polinómica legible, una cadena del polinomio cociente, el texto del divisor mónico, los coeficientes originales opcionales del divisor cuando los suministró, un flag booleano factors_exactly y una cadena de identidad breve que reafirma dividendo igual a divisor por cociente más resto. Los arreglos divisor no lineales —por ejemplo un factor cuadrático— lanzan invalid_input con un mensaje explícito de que solo se admiten factores lineales, porque la división polinómica general es otro algoritmo con otra intención SEO.
Uso de la API, precios, flujos de aula y límites prácticos
Use la herramienta gratuita en el navegador para comprobaciones de deberes, demos de clase y verificaciones rápidas del teorema del factor sin instalar Maxima, SymPy o un CAS local. Envíe un cuerpo JSON con el arreglo coefficients obligatorio de números finitos de mayor grado primero, más el campo numérico r o un arreglo de coeficientes de divisor lineal; se aceptan alias coeffs, dividend, root y zero donde esté documentado. En éxito la respuesta repite el dividendo limpio, degree, r, etiqueta del divisor, arreglo quotient, remainder, factors_exactly, cadenas de visualización y la etiqueta method synthetic_division. Use la API de prepago cuando una plataforma de tutoría, sandbox de evaluación de código, generador de currículo o pipeline de álgebra necesite un contrato estable bajo saldo KIT a $0.002 por ítem exitoso; los fallos de validación nunca consumen saldo tras el rechazo del motor. El grado está acotado por seguridad del isolate del Worker, y magnitudes de coeficiente extremadamente grandes pueden sufrir cancelación ordinaria de doble precisión, así que prefiera entradas de aula e ingeniería bien escaladas. Empareje este endpoint con un buscador de raíces cuando solo conozca raíces candidatas, o llámelo repetidamente para pelar raíces racionales en ejercicios de factorización manual.
Casos de integración
Pipelines de álgebra ligeros
Scripts que desinflan factores lineales conocidos llaman un endpoint JSON estable en lugar de reimplementar el tableau sintético en cada lenguaje o servicio.
Preguntas técnicas
¿Cómo ejecuto la división sintética con esta API?
Envíe JSON con coefficients de mayor grado primero (por ejemplo [1, -6, 11, -6] para x³ − 6x² + 11x − 6) y r para el divisor x − r (por ejemplo r: 2). La respuesta incluye coeficientes del cociente y resto.