Calculadora de división de polinomios
Divida un polinomio entre otro y obtenga el cociente y el resto: x² − 3x + 2 entre x − 1 da x − 2 con resto 0. El divisor puede tener cualquier grado, no solo la forma x − r. Gratis en su navegador.
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La división de polinomios es el algoritmo de Euclides sobre polinomios en una variable: dados un dividendo p(x) y un divisor d(x) distinto de cero, existen polinomios únicos q(x) y r(x) tales que p es igual a d por q más r, y o bien r es el polinomio cero o el grado de r es estrictamente menor que el grado de d. Quien estudia se encuentra con esta identidad al dividir por primera vez x al cuadrado menos tres x más dos entre x menos uno y recuperar el cociente lineal x menos dos. Quien trabaja en ingeniería la usa al cancelar un factor, reducir una función de transferencia o calcular un resto para evaluarlo después. Esta calculadora de división de polinomios acepta ambos polinomios como arrays densos de coeficientes en orden de grado descendente, rechaza el polinomio cero como divisor y devuelve los arrays de cociente y resto junto con los grados y cadenas compactas de polinomio.
Qué significa la división de polinomios y cómo aparecen el cociente y el resto
La división de polinomios en una variable es el análogo exacto de la división larga de enteros. En los enteros, 17 entre 5 da cociente 3 y resto 2 porque 17 es igual a 5 por 3 más 2 y el resto es menor que el divisor.
En los polinomios vale el mismo enunciado euclídeo: dados un dividendo p(x) y un divisor d(x) distinto de cero, existe un par único de polinomios q(x) y r(x) tales que p(x) es igual a d(x) por q(x) más r(x), y o bien r es idénticamente cero o el grado de r es estrictamente menor que el grado de d. La intención de búsqueda se agrupa en frases como división de polinomios, dividir dos polinomios, cociente y resto de un polinomio, y algoritmo de Euclides para polinomios.
Los problemas de aula suelen enviar listas con el grado más alto primero, por ejemplo uno, menos tres, dos para x al cuadrado menos tres x más dos, y uno, menos uno para x menos uno, y esperan el cociente lineal uno, menos dos con resto cero. Las notas de control y de procesado de señales usan la misma identidad para cancelar un polo contra un cero o para bajar el grado de un numerador antes de evaluar un resto.
A diferencia de la división sintética, que solo trata un factor lineal mónico de la forma x menos r, la división completa acepta un divisor de cualquier grado positivo, incluidas las cuadráticas y superiores, y por eso es la herramienta general cuando el denominador no es un simple factor lineal. Este extremo implementa ese algoritmo general e informa tanto los arrays densos de coeficientes como las cadenas compactas de visualización, para que una persona y una máquina lean la misma respuesta.
Contrato de entrada, orden de los coeficientes, validación y forma de la respuesta
Cada array es una lista densa de coeficientes finitos en orden de grado descendente, de modo que la primera entrada es el coeficiente principal y la última es el término constante. Los ceros iniciales se eliminan antes de calcular el grado, así que cero, cero, uno, menos tres, dos se trata como la misma cuadrática. Se aceptan cadenas numéricas que se interpretan como decimales ordinarios para que los envíos de formularios y las exportaciones de hojas de cálculo resulten cómodos.
Si, tras recortar, todos los coeficientes del divisor son cero, la petición falla con un mensaje de que el divisor no debe ser el polinomio cero, porque la división por cero no está definida en el anillo de polinomios. También se rechazan los coeficientes cuyo valor absoluto supera el techo de magnitud declarado, o los arrays cuyo grado supera el máximo declarado.
Si tiene éxito, el cuerpo hace eco del dividendo y del divisor recortados, devuelve cociente y resto como arrays con el grado más alto primero redondeados a la precisión pedida (diez decimales por defecto), informa los cuatro grados públicos, pone exact en true cuando el resto es el polinomio cero e incluye cadenas compactas de polinomio más la fórmula de la identidad. Cuando el grado del dividendo ya es menor que el del divisor, el cociente es el polinomio cero y el resto es el propio dividendo.
La validación fallida no se factura.
Para qué sirve dividir polinomios y qué no hace
Las aulas y las plataformas de tutoría usan una calculadora de división de polinomios para que quien aprende compruebe el cociente y el resto de listas arbitrarias de coeficientes sin perder un signo al alinear a mano las columnas de la división larga. Los generadores de exámenes y los autoevaluadores de LMS necesitan un oráculo determinista que rechace un divisor nulo en lugar de inventar un cociente en silencio, y que devuelva arrays que un corrector pueda comparar elemento a elemento. La entrada inválida no consume saldo.
Los límites son deliberados: solo división densa en una variable, no división multivariable, no factorización en irreducibles y no un buscador de raíces. Si necesita el máximo común divisor de dos polinomios, las raíces de un solo polinomio o la división sintética entre x menos r, elija esas capacidades dedicadas en lugar de forzar este contrato. Mantenga las peticiones dentro de los límites publicados de grado y magnitud, fije en las pruebas los coeficientes redondeados y obtendrá pares reproducibles de cociente y resto sin levantar infraestructura simbólica propia.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de división de polinomios en clase y en deberes
Permita que el alumnado envíe dos arrays de coeficientes con el grado más alto primero y contraste cociente y resto con la división larga del libro, en casos exactos e inexactos.
Autoevaluación de exámenes y LMS
Califique ítems de división de polinomios con un oráculo determinista que rechaza el polinomio cero como divisor y nunca inventa términos extra de resto.
Cuadernos y reducción de funciones racionales
Cancele o reduzca polinomios densos en una variable en scripts de control y de señal sin importar una biblioteca completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se dividen dos polinomios con esta calculadora?
Ejemplo: [1, -3, 2] dividido entre [1, -1] devuelve cociente [1, -2] y resto [0], es decir (x² − 3x + 2) / (x − 1) = x − 2.
¿Qué ocurre si el divisor es el polinomio cero?
La división por el polinomio cero no está definida, así que la petición se rechaza y no se factura.
¿En qué orden debo enviar los coeficientes?
Grado descendente: el primer número es el coeficiente principal y el último es el término constante. Los ceros iniciales se eliminan antes de calcular los grados.
¿Cuándo es cero el resto?
Cuando el divisor divide exactamente al dividendo. La respuesta pone entonces exact en true y remainder en [0]. En caso contrario deg(remainder) es estrictamente menor que deg(divisor).
¿En qué se diferencia de la división sintética?
La división sintética solo sirve cuando el divisor es un factor lineal sencillo de la forma x − r. Aquí el divisor puede tener cualquier grado positivo, incluidos los cuadráticos y superiores, así que cubre los casos en que el denominador no es un único factor lineal.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"dividend": [
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-3,
2
],
"divisor": [
1,
-1
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})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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-3,
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],
"divisor": [
1,
-1
]
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)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"dividend": [
1,
-3,
2
],
"divisor": [
1,
-1
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.polynomial_division",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_degree | 64 |
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Qué significa la división de polinomios y cómo aparecen el cociente y el resto
Esa unicidad es lo que hace posible un contrato de API: los mismos arrays de coeficientes producen siempre el mismo cociente y el mismo resto, sin ramificarse según una heurística de álgebra computacional.
Contrato de entrada, orden de los coeficientes, validación y forma de la respuesta
Envíe un cuerpo JSON con dos arrays obligatorios: dividend y divisor. Ejemplo: envíe dividend uno, menos tres, dos y divisor uno, menos uno para dividir x al cuadrado menos tres x más dos entre x menos uno. Los arrays vacíos, los campos ausentes, lo que no sea un array, Infinity y NaN fallan con invalid_input nombrando el campo. Se aceptan alias opcionales como num, numerator y p para el dividendo, y den, denominator, d y by para el divisor, de modo que las plantillas de aula no necesiten reescribirse.
Dónde resulta útil una API de división de polinomios y qué no hace
Los cuadernos de ingeniería reducen expresiones racionales, cancelan factores comunes tras un paso GCD aparte o aplican el teorema del resto al dividir primero por un factor lineal; llamar a una API de parseo pequeña evita arrastrar un sistema completo de álgebra computacional para un par de arrays densos. Como la implementación es parseo puro de nivel A, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002, sin tokens de modelo y sin red de salida.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta la calculadora de división de polinomios?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago de KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.