Multiplicar expresiones racionales
Multiplique dos fracciones de polinomios y obtenga el resultado simplificado con su dominio: (x + 1)/(x − 2) por (x − 2)/(x + 3) queda (x + 1)/(x + 3), excluyendo los valores 2 y −3. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Num1
- 1, 1
- Den1
- 1, -2
- Num2
- 1, -2
- Den2
- 1, 3
- Expresión 1
- (x + 1)/(x - 2)
- Expresión 2
- (x - 2)/(x + 3)
- Producto sin simplificar
- (x^2 - x - 2)/(x^2 + x - 6)
- Producto
- (x + 1)/(x + 3)
Multiplicar expresiones racionales es una habilidad central del álgebra: forme el producto de dos fracciones polinómicas, factorice cuando sea posible, cancele todo factor común que aparezca a la vez en el numerador combinado y en el denominador combinado, y enuncie el producto simplificado junto con los valores de la variable que deben excluirse porque anulan un denominador original. Estudiantes, tutores, autores de LMS y scripts de automatización necesitan la misma respuesta determinista para entradas de libro de texto, sin errores de signo ni huecos de dominio olvidados. Esta calculadora de multiplicar expresiones racionales acepta cuatro arreglos de coeficientes —numerador y denominador de cada factor—, multiplica los polinomios, cancela su máximo común divisor mónico con el algoritmo de Euclides y devuelve cadenas de visualización, listas de coeficientes, el factor cancelado y las raíces reales excluidas de los denominadores originales.
Qué significa multiplicar expresiones racionales y por qué cancelar con cuidado
Una expresión racional es un cociente de polinomios, escrito n(x) sobre d(x) con d distinto del polinomio nulo. El producto de dos expresiones de este tipo se define multiplicando numeradores y multiplicando denominadores: (n1/d1) por (n2/d2) es igual a (n1 por n2) sobre (d1 por d2). Ese producto sin simplificar es algebraicamente correcto, pero a menudo no está reducido.
Reducir significa dividir numerador y denominador por todo factor polinómico común —equivalente a dividir por su máximo común divisor mónico calculado con el algoritmo de Euclides sobre los polinomios producto—. Tras la cancelación, la fracción restante queda en términos mínimos sobre el cuerpo de coeficientes del motor, y el denominador se normaliza mónico para que los clientes vean un uno principal estable.
De forma crítica, los valores que anulan cualquiera de los denominadores originales siguen excluidos del dominio del producto original aunque esos factores se hayan cancelado en la forma simplificada; los libros de texto los llaman discontinuidades evitables o agujeros, y los correctores siguen marcándolos como excluidos. Los denominadores lineales aportan una raíz excluida cada uno; los cuadráticos aportan cero, una o dos raíces reales mediante la fórmula cuadrática; los de grado superior aportan raíces racionales halladas con el teorema de la raíz racional cuando los coeficientes son casi enteros.
Los denominadores constantes no nulos no aportan raíces finitas excluidas.
Para quién es útil comprobar estos productos
Aulas y plataformas de tutoría usan una calculadora de multiplicar expresiones racionales para que el alumnado compruebe factores cancelados y valores excluidos con listas de coeficientes arbitrarias sin perder a mano un factor lineal común. Los generadores de preparación de exámenes necesitan un oráculo determinista que siga listando los ceros cancelados de los denominadores originales en lugar de fingir en silencio que solo el denominador simplificado define el dominio.
Cuadernos de ingeniería y ciencia que componen funciones de transferencia o aproximaciones racionales pueden multiplicar dos fracciones propias o impropias de polinomios sin importar un sistema de álgebra computacional completo solo para un producto de cuatro arreglos. La validación fallida no consume saldo. Cuando el temario pida después dividir expresiones racionales, invierta la segunda fracción y use el mismo camino de multiplicar y cancelar; la suma y la resta exigen un denominador común y quedan fuera del alcance de esta herramienta centrada en el producto.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de clase y deberes
El alumnado envía cuatro arreglos de coeficientes de dos factores racionales y verifica la cadena del producto reducido más los valores excluidos frente al método del libro.
Corrección automática de exámenes y LMS
Califique ítems de multiplicar y simplificar con un oráculo determinista que sigue excluyendo raíces canceladas del denominador y nunca inventa factores extra.
Cuadernos y pipelines racionales
Componga dos fracciones polinómicas en scripts —funciones de transferencia, filtros, modelos algebraicos— sin una biblioteca completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Por qué los factores cancelados siguen listados como valores excluidos?
Los valores que anulan un denominador original quedan fuera del dominio del producto original incluso tras la cancelación.
¿Qué orden de coeficientes usan los arreglos?
Mayor grado primero: [1, -3, 2] significa x² − 3x + 2, y [1, -1] significa x − 1. Se rechazan arreglos vacíos y el polinomio nulo como denominador.
¿Cómo queda el producto antes de simplificar?
Al multiplicar numeradores y denominadores se obtiene (x² − x − 2)/(x² + x − 6). Ambos comparten el factor x − 2, que se cancela y deja (x + 1)/(x + 3).
¿Cuántos decimales muestra el resultado?
Por defecto, 10 decimales en coeficientes y raíces. Puede elegir cualquier cantidad entera de 0 a 15 si necesita un resultado más corto o más preciso.
¿Qué grado máximo admiten los polinomios?
Hasta grado 32 en cada numerador y denominador. Cada coeficiente debe ser un número finito y se escribe del grado más alto al más bajo, de modo que 1, 1 representa x + 1.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
],
"den2": [
1,
3
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
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1,
3
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
],
"den2": [
1,
3
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.multiply_rational_expressions",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Qué significa multiplicar expresiones racionales y por qué cancelar con cuidado
Por ello esta calculadora informa excluded_values a partir de las raíces de den1 y den2 originales, no solo del denominador reducido. Los denominadores nulos se rechazan de entrada como invalid_input porque una expresión racional no está definida cuando su denominador es el polinomio cero.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y comportamiento ante errores
La precisión opcional (entero de cero a quince, por defecto diez) controla los decimales de coeficientes y raíces. Ejemplo: (x+1)/(x−2) por (x−2)/(x+3) se simplifica a (x+1)/(x+3) con valores excluidos dos y menos tres, porque x igual a dos se cancela pero deja un agujero. Combine los coeficientes con su propia presentación de factorización si necesita tarjetas binomiales paso a paso; este extremo devuelve el producto reducido exacto y las exclusiones de dominio sin demostraciones en prosa multilínea. Envíe por POST un cuerpo JSON con cuatro arreglos de coeficientes obligatorios en orden de mayor grado primero: num1 y den1 para la primera expresión racional, num2 y den2 para la segunda. Ejemplo: num1 igual a [1, 1] y den1 igual a [1, -2] codifican (x + 1) sobre (x − 2); num2 igual a [1, -2] y den2 igual a [1, 3] codifican (x − 2) sobre (x + 3). Cada coeficiente puede ser un número JSON o una cadena numérica; campos ausentes, arreglos vacíos, no arreglos, valores no finitos y grados por encima de treinta y dos fallan con invalid_input nombrando el campo. Si den1 o den2 es el polinomio nulo, la tarea falla de inmediato. En caso de éxito el cuerpo repite las cuatro entradas redondeadas; expression1 y expression2 como fracciones legibles; product_unsimplified como el producto bruto antes de cancelar; product como la fracción reducida; arreglos numerator y denominator del resultado simplificado; cadenas numerator_poly y denominator_poly; cancelled_factor y cancelled_poly del MCD mónico dividido; cancelled en verdadero cuando se eliminó un factor no constante; gcd_steps contando iteraciones euclídeas; excluded_values ordenados, excluded_count y excluded_note que explican los huecos de dominio; degree_numerator y degree_denominator; precision; method; y un campo formula breve.
Dónde una API de multiplicar expresiones racionales aporta valor
Como la implementación es parse pura de nivel A, cada llamada con éxito cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo ni red saliente. Mantenga las peticiones dentro de los límites de grado y magnitud, fije en pruebas el producto redondeado y los arreglos excluded_values, y obtendrá fracciones reducidas reproducibles para deberes, plugins LMS y workers en el borde.
Preguntas técnicas
¿Cómo multiplico dos expresiones racionales con esta calculadora?
Envíe num1, den1, num2 y den2 como arreglos de coeficientes de mayor grado primero. La API multiplica numeradores y denominadores, cancela su MCD mónico y devuelve product más excluded_values de los denominadores originales.
¿Qué ocurre si un denominador es el polinomio nulo?
La tarea falla con invalid_input. Una expresión racional exige un polinomio denominador no nulo; den1 y den2 deben tener al menos un coeficiente distinto de cero.
¿Cuánto cuesta la calculadora de multiplicar expresiones racionales?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada con éxito; la entrada inválida no se factura.