ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة ضرب التعابير النسبية

اضرب كسرين من كثيرات الحدود واحصل على الناتج المبسط مع مجاله: حاصل ضرب (x + 1)/(x − 2) في (x − 2)/(x + 3) هو (x + 1)/(x + 3)، مع استبعاد القيمتين 2 و−3. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

Num1: 1, 1
Den1: 1, ‎-2
Num2: 1, ‎-2
Den2: 1, 3

تحصل على

التعبير 1: (x + 1)/(x - 2)
التعبير 2: (x - 2)/(x + 3)
الناتج دون تبسيط: (x^2 - x - 2)/(x^2 + x - 6)
الناتج: (x + 1)/(x + 3)

ضرب التعابير النسبية مهارة أساسية في الجبر: كوّنوا حاصل ضرب كسرين كثيري الحدود، وحلّلوا عند الإمكان، وألغوا كل عامل مشترك يظهر معًا في البسط المجمع والمقام المجمع، ثم اذكروا الناتج المبسط مع قيم المتغير التي يجب استبعادها لأنها جعلت مقامًا أصليًا يساوي صفرًا. يحتاج الطلاب والمعلمون ومؤلفو أنظمة إدارة التعلم وسكربتات الأتمتة إلى الإجابة الحتمية نفسها لمدخلات بأسلوب الكتاب، دون أخطاء إشارة أو فجوات نطاق منسية. تقبل حاسبة ضرب التعابير النسبية هذه أربع مصفوفات معاملات —بسط ومقام كل عامل— وتضرب كثيرات الحدود، وتلغي القاسم المشترك الأعظم الموني عبر خوارزمية إقليدس، وتعيد سلاسل العرض وقوائم المعاملات والعامل الملغى والجذور الحقيقية المستبعدة من المقامات الأصلية.

معنى ضرب التعابير النسبية وسبب الإلغاء بعناية

التعبير النسبي هو نسبة كثيرات حدود، يُكتب n(x) على d(x) بشرط ألا يكون d كثير الحدود الصفري. يُعرَّف حاصل ضرب تعبيرين من هذا النوع بضرب البسطين وضرب المقامين: (n1/d1) في (n2/d2) يساوي (n1 في n2) على (d1 في d2). هذا الحاصل غير المبسط صحيح جبريًا لكنه غالبًا غير مخفض.

التخفيض يعني قسمة البسط والمقام على كل عامل كثير حدود مشترك —أي على قاسمهما المشترك الأعظم الموني المحسوب بخوارزمية إقليدس على كثيري الحدود الناتجين—. بعد الإلغاء يبقى الكسر بأدنى حدود على حقل المعاملات الذي يستخدمه المحرك، ويُطبَّع المقام مونيًا ليرى العملاء واحدًا رائدًا مستقرًا. والأهم: القيم التي تجعل أي مقام أصلي صفرًا تظل مستبعدة من نطاق حاصل الضرب الأصلي حتى عندما تُلغى تلك العوامل من الشكل المبسط؛ تسميها الكتب انقطاعات قابلة للإزالة أو ثقوبًا، وما زال المصححون يعدّونها مستبعدة.

المقامات الخطية تعطي جذرًا مستبعدًا واحدًا لكل منها؛ والتربيعية تعطي صفرًا أو واحدًا أو اثنين من الجذور الحقيقية بالصيغة التربيعية؛ والدرجات الأعلى تسهم بجذور نسبية عبر نظرية الجذر النسبي عندما تكون المعاملات شبه صحيحة. المقامات الثابتة غير الصفرية لا تسهم بجذور منتهية مستبعدة.

أين تفيد واجهة ضرب التعابير النسبية

تستخدم الفصول ومنصات التدريس حاسبة ضرب تعابير نسبية ليتحقق المتعلمون من العوامل الملغاة والقيم المستبعدة لقوائم معاملات اختيارية دون فقدان عامل خطي مشترك يدويًا. تحتاج مولّدات التحضير للامتحانات إلى وحي حتمي ما زال يدرج أصفار المقامات الأصلية الملغاة بدل التظاهر صمتًا بأن المقام المبسط وحده يحدد النطاق. تستفيد مواقع المحتوى التي تستهدف ضرب التعابير النسبية من ودجت حي يطابق مساره المجاني في المتصفح مسار الأتمتة المدفوع بايتًا ببايت على الوحدة النقية نفسها.

يمكن لدفاتر الهندسة والعلوم التي تركّب دوال نقل أو تقريبات نسبية ضرب كسرين تامين أو غير تامين من كثيرات الحدود دون استيراد نظام جبر حاسوبي كامل لمنتج من أربع مصفوفات. لا يستهلك فشل التحقق الرصيد. عندما يطلب المنهج لاحقًا قسمة التعابير النسبية، اقلبوا الكسر الثاني واستدعوا مسار الضرب والإلغاء نفسه؛ الجمع والطرح يتطلبان مقامًا مشتركًا وهما خارج نطاق هذه الأداة المركّزة على الضرب.

حالات الاستخدام

فحوصات الصف والواجبات

يرسل الطلاب أربع مصفوفات معاملات لعاملين نسبيين ويتحققون من سلسلة الناتج المخفض مع القيم المستبعدة مقارنة بطريقة الكتاب.

تصحيح الامتحانات وأنظمة LMS تلقائيًا

صحّحوا بنود الضرب والتبسيط بوحي حتمي يستبعد جذور المقام الملغاة ولا يخترع عوامل إضافية أبدًا.

دفاتر ومسارات نسبية

ركّبوا كسرين كثيري حدود في السكربتات —دوال نقل، مرشحات، نماذج جبرية— دون مكتبة جبر حاسوبي كاملة.

الأسئلة الشائعة

لماذا تظل العوامل الملغاة مدرجة كقيم مستبعدة؟

القيم التي تجعل مقامًا أصليًا صفرًا خارج نطاق حاصل الضرب الأصلي حتى بعد الإلغاء.

ما ترتيب المعاملات في المصفوفات؟

الدرجة الأعلى أولاً: [1, -3, 2] تعني x² − 3x + 2، و [1, -1] تعني x − 1. تُرفض المصفوفات الفارغة وكثير الحدود الصفري كمقام.

كيف يبدو حاصل الضرب قبل التبسيط؟

بضرب البسطين معًا والمقامين معًا نحصل على (x² − x − 2)/(x² + x − 6). يشترك الطرفان في العامل x − 2، فيُختصر ويبقى (x + 1)/(x + 3).

كم عدد المنازل العشرية في النتيجة؟

افتراضيًا 10 منازل عشرية للمعاملات والجذور، ويمكنك اختيار أي عدد صحيح من 0 إلى 15 إذا أردت نتيجة أقصر أو أدق.

ماذا يحدث إذا كان المقام كثير حدود صفريًا؟

تُرفض العملية فورًا، لأن التعبير النسبي غير معرّف عندما يكون مقامه صفرًا. صحح المقام ثم أعد المحاولة، ويمكن أن يصل كل بسط ومقام إلى الدرجة 32.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "num1": [
      1,
      1
    ],
    "den1": [
      1,
      -2
    ],
    "num2": [
      1,
      -2
    ],
    "den2": [
      1,
      3
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "num1": [
        1,
        1
    ],
    "den1": [
        1,
        -2
    ],
    "num2": [
        1,
        -2
    ],
    "den2": [
        1,
        3
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "num1": [
    1,
    1
  ],
  "den1": [
    1,
    -2
  ],
  "num2": [
    1,
    -2
  ],
  "den2": [
    1,
    3
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.multiply_rational_expressions",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

يشغّل الوحدة النقية نفسها ودجت المتصفح المجاني ومسار API حتى لا تختلف فحوصات الواجبات وخطوط الإنتاج أبدًا.

معنى ضرب التعابير النسبية وسبب الإلغاء بعناية

لذلك تُبلغ هذه الحاسبة excluded_values من جذور den1 و den2 الأصليين لا من المقام المخفض فقط. تُرفض المقامات الصفرية فورًا بوصفها invalid_input لأن التعبير النسبي غير معرّف عندما يكون مقامه كثير الحدود الصفري.

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الخطأ

تتحكم الدقة الاختيارية (عدد صحيح من صفر إلى خمسة عشر، الافتراضي عشرة) في المنازل العشرية للمعاملات والجذور. مثال: (x+1)/(x−2) في (x−2)/(x+3) يبسط إلى (x+1)/(x+3) بقيم مستبعدة اثنين وسالب ثلاثة لأن x يساوي اثنين يُلغى لكنه يترك ثقبًا. اقرنوا المعاملات بعرض تحليل خاص بكم إن احتجتم بطاقات ثنائية خطوة بخطوة؛ تُعيد هذه النقطة حاصل الضرب المخفض الدقيق واستبعادات النطاق دون براهين نثرية متعددة الأسطر. أرسلوا جسم JSON بطريقة POST بأربع مصفوفات معاملات إلزامية بترتيب الدرجة الأعلى أولاً: num1 و den1 للتعبير النسبي الأول، و num2 و den2 للثاني. مثال: num1 يساوي [1, 1] و den1 يساوي [1, -2] يرمزان (x + 1) على (x − 2)؛ و num2 يساوي [1, -2] و den2 يساوي [1, 3] يرمزان (x − 2) على (x + 3). يجوز أن يكون كل معامل عدد JSON أو سلسلة رقمية؛ والحقول الناقصة والمصفوفات الفارغة وغير المصفوفات والقيم غير المنتهية والدرجات فوق اثنين وثلاثين تفشل بـ invalid_input مع اسم الحقل. إذا كان den1 أو den2 كثير الحدود الصفري تفشل المهمة فورًا. عند النجاح يعيد الجسم المدخلات الأربعة المقرّبة؛ و expression1 و expression2 ككسور مقروءة؛ و product_unsimplified كحاصل خام قبل الإلغاء؛ و product كسلسلة الكسر المخفض؛ ومصفوفتي numerator و denominator للنتيجة المبسطة؛ وسلسلتي numerator_poly و denominator_poly؛ و cancelled_factor و cancelled_poly للقاسم الموني المقسوم؛ و cancelled صحيحًا عند إزالة عامل غير ثابت؛ و gcd_steps بعدّ تكرارات إقليدس؛ و excluded_values مرتبة و excluded_count و excluded_note لشرح فجوات النطاق؛ و degree_numerator و degree_denominator؛ و precision؛ و method؛ وحقل formula قصير.

أين تفيد واجهة ضرب التعابير النسبية

ولأن التنفيذ parse خالص من المستوى A، يكلف كل استدعاء ناجح السعر الأساسي المنشور $0.002 بلا رموز نموذج وبلا شبكة صادرة. أبقوا الطلبات ضمن حدود الدرجة والمقدار، وثبّتوا في الاختبارات الناتج المقرّب ومصفوفات excluded_values، فتحصلون على كسور مخفضة قابلة لإعادة الإنتاج للواجبات وإضافات LMS وعُقد الحافة.

أسئلة تقنية

كيف أضرب تعبيرين نسبيين بهذه الحاسبة؟

أرسلوا num1 و den1 و num2 و den2 كمصفوفات معاملات بالدرجة الأعلى أولاً. تضرب API البسطين والمقامين، وتلغي القاسم الموني، وتعيد product مع excluded_values من المقامات الأصلية.

ماذا يحدث إذا كان المقام كثير الحدود الصفري؟

تفشل المهمة بـ invalid_input. يتطلب التعبير النسبي مقامًا كثير حدود غير صفري؛ ويجب أن يحتوي den1 و den2 كل منهما على معامل غير صفري واحد على الأقل.

كم تكلفة حاسبة ضرب التعابير النسبية؟

أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بمقدار $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ ولا تُفوتر المدخلات غير الصالحة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

معنى ضرب التعابير النسبية وسبب الإلغاء بعناية

أين تفيد واجهة ضرب التعابير النسبية

حالات الاستخدام

فحوصات الصف والواجبات

تصحيح الامتحانات وأنظمة LMS تلقائيًا

دفاتر ومسارات نسبية

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

معنى ضرب التعابير النسبية وسبب الإلغاء بعناية

عقد الإدخال وشكل الاستجابة وسلوك الخطأ

أين تفيد واجهة ضرب التعابير النسبية

أسئلة تقنية

شكرًا