Multiplier expressions rationnelles
Multipliez deux fractions de polynômes et obtenez le résultat simplifié avec son domaine : (x + 1)/(x − 2) fois (x − 2)/(x + 3) donne (x + 1)/(x + 3), en excluant les valeurs 2 et −3. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Num1
- 1, 1
- Den1
- 1, -2
- Num2
- 1, -2
- Den2
- 1, 3
- Expression 1
- (x + 1)/(x - 2)
- Expression 2
- (x - 2)/(x + 3)
- Produit non simplifié
- (x^2 - x - 2)/(x^2 + x - 6)
- Produit
- (x + 1)/(x + 3)
Multiplier des expressions rationnelles est une compétence centrale de l'algèbre : formez le produit de deux fractions polynomiales, factorisez lorsque c'est possible, annulez tout facteur commun qui apparaît à la fois au numérateur combiné et au dénominateur combiné, puis énoncez le produit simplifié avec les valeurs de la variable à exclure parce qu'elles annulent un dénominateur d'origine. Élèves, tuteurs, auteurs de LMS et scripts d'automatisation ont besoin de la même réponse déterministe pour des entrées de type manuel, sans erreurs de signe ni trous de domaine oubliés. Ce calculateur de multiplication d'expressions rationnelles accepte quatre tableaux de coefficients —numérateur et dénominateur de chaque facteur—, multiplie les polynômes, annule leur plus grand commun diviseur monique par l'algorithme d'Euclide et renvoie des chaînes d'affichage, des listes de coefficients, le facteur annulé et les racines réelles exclues des dénominateurs d'origine.
Ce que signifie multiplier des expressions rationnelles et pourquoi annuler avec soin
Une expression rationnelle est un quotient de polynômes, écrit n(x) sur d(x) avec d non nul. Le produit de deux telles expressions se définit en multipliant les numérateurs et les dénominateurs : (n1/d1) fois (n2/d2) égale (n1 fois n2) sur (d1 fois d2). Ce produit non simplifié est algébriquement correct mais souvent non réduit.
Réduire signifie diviser numérateur et dénominateur par tout facteur polynomial commun —équivalemment par leur plus grand commun diviseur monique calculé par l'algorithme d'Euclide sur les polynômes produits—. Après annulation, la fraction restante est sous forme irréductible sur le corps de coefficients du moteur, et le dénominateur est normalisé monique pour que les clients voient un un de tête stable.
De façon critique, les valeurs qui annulent un dénominateur d'origine restent exclues du domaine du produit d'origine même lorsque ces facteurs se sont annulés dans la forme simplifiée ; les manuels parlent de discontinuités évitables ou de trous, et les correcteurs les marquent encore comme exclus. Les dénominateurs linéaires donnent une racine exclue chacun ; les quadratiques donnent zéro, une ou deux racines réelles via la formule quadratique ; les degrés supérieurs contribuent des racines rationnelles par le théorème des racines rationnelles lorsque les coefficients sont quasi entiers.
Les dénominateurs constants non nuls n'apportent aucune racine finie exclue.
À qui sert la vérification de ces produits
Les salles de classe et plateformes de tutorat utilisent un calculateur de multiplication d'expressions rationnelles pour que les apprenants vérifient facteurs annulés et valeurs exclues pour des listes de coefficients arbitraires sans perdre à la main un facteur linéaire commun. Les générateurs de préparation aux examens ont besoin d'un oracle déterministe qui liste encore les zéros annulés des dénominateurs d'origine au lieu de prétendre en silence que seul le dénominateur simplifié définit le domaine.
Les carnets d'ingénierie et de science qui composent des fonctions de transfert ou des approximations rationnelles peuvent multiplier deux fractions propres ou impropres de polynômes sans importer un système d'algèbre informatique complet pour un produit de quatre tableaux. Une validation échouée ne consomme pas le solde. Lorsque le programme demandera ensuite la division d'expressions rationnelles, inversez la seconde fraction et utilisez le même chemin multiplier-et-annuler ; l'addition et la soustraction exigent un dénominateur commun et sortent du périmètre de cet outil centré sur le produit.
Cas d’usage
Contrôles en classe et devoirs
Les élèves envoient quatre tableaux de coefficients pour deux facteurs rationnels et vérifient la chaîne du produit réduit plus les valeurs exclues par rapport à la méthode du manuel.
Notation automatique d'examens et LMS
Notez les items multiplier-et-simplifier avec un oracle déterministe qui exclut encore les racines annulées du dénominateur et n'invente jamais de facteurs supplémentaires.
Carnets et pipelines rationnels
Composez deux fractions polynomiales dans des scripts —fonctions de transfert, filtres, modèles algébriques— sans bibliothèque complète d'algèbre informatique.
Questions fréquentes
Pourquoi les facteurs annulés restent-ils listés comme valeurs exclues ?
Les valeurs qui annulent un dénominateur d'origine sont hors du domaine du produit d'origine même après annulation.
Quel ordre de coefficients utilisent les tableaux ?
Degré le plus élevé d'abord : [1, -3, 2] signifie x² − 3x + 2, et [1, -1] signifie x − 1. Les tableaux vides et le polynôme nul comme dénominateur sont rejetés.
À quoi ressemble le produit avant simplification ?
En multipliant numérateurs et dénominateurs, on obtient (x² − x − 2)/(x² + x − 6). Les deux partagent le facteur x − 2, qui se simplifie et laisse (x + 1)/(x + 3).
Combien de décimales le résultat affiche-t-il ?
Par défaut, 10 décimales pour les coefficients et les racines. Vous pouvez choisir tout nombre entier de 0 à 15 si vous voulez un résultat plus court ou plus précis.
Quel degré maximal les polynômes peuvent-ils avoir ?
Jusqu'au degré 32 pour chaque numérateur et dénominateur. Chaque coefficient doit être un nombre fini, écrit du degré le plus haut au plus bas : 1, 1 représente x + 1.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
],
"den2": [
1,
3
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
],
"den2": [
1,
3
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
],
"den2": [
1,
3
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.multiply_rational_expressions",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Ce que signifie multiplier des expressions rationnelles et pourquoi annuler avec soin
Ce calculateur rapporte donc excluded_values à partir des racines de den1 et den2 d'origine, pas seulement du dénominateur réduit. Les dénominateurs nuls sont rejetés d'emblée comme invalid_input car une expression rationnelle est indéfinie lorsque son dénominateur est le polynôme zéro.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et comportement d'erreur
La précision optionnelle (entier de zéro à quinze, défaut dix) contrôle les décimales des coefficients et des racines. Exemple : (x+1)/(x−2) fois (x−2)/(x+3) se simplifie en (x+1)/(x+3) avec valeurs exclues deux et moins trois, car x égal à deux s'annule mais laisse un trou. Associez les coefficients à votre propre affichage de factorisation si vous avez besoin de cartes binômes étape par étape ; ce point de terminaison renvoie le produit réduit exact et les exclusions de domaine sans preuves en prose multilignes. Envoyez en POST un corps JSON avec quatre tableaux de coefficients obligatoires en ordre de degré décroissant : num1 et den1 pour la première expression rationnelle, num2 et den2 pour la seconde. Exemple : num1 égal à [1, 1] et den1 égal à [1, -2] codent (x + 1) sur (x − 2) ; num2 égal à [1, -2] et den2 égal à [1, 3] codent (x − 2) sur (x + 3). Chaque coefficient peut être un nombre JSON ou une chaîne numérique ; champs manquants, tableaux vides, non-tableaux, valeurs non finies et degrés au-delà de trente-deux échouent avec invalid_input en nommant le champ. Si den1 ou den2 est le polynôme nul, la tâche échoue immédiatement. En cas de succès le corps renvoie les quatre entrées arrondies ; expression1 et expression2 en fractions lisibles ; product_unsimplified comme produit brut avant annulation ; product comme fraction réduite ; tableaux numerator et denominator du résultat simplifié ; chaînes numerator_poly et denominator_poly ; cancelled_factor et cancelled_poly pour le PGCD monique divisé ; cancelled vrai lorsqu'un facteur non constant a été retiré ; gcd_steps comptant les itérations euclidiennes ; excluded_values triés, excluded_count et excluded_note expliquant les trous de domaine ; degree_numerator et degree_denominator ; precision ; method ; et un court champ formula.
Où une API de multiplication d'expressions rationnelles est utile
Comme l'implémentation est pure parse de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant. Gardez les requêtes dans les limites de degré et de magnitude, figez dans les tests le produit arrondi et les tableaux excluded_values, et vous obtenez des fractions réduites reproductibles pour les devoirs, plugins LMS et workers en périphérie.
Questions techniques
Comment multiplier deux expressions rationnelles avec ce calculateur ?
Envoyez num1, den1, num2 et den2 comme tableaux de coefficients en degré décroissant. L'API multiplie numérateurs et dénominateurs, annule leur PGCD monique et renvoie product plus excluded_values des dénominateurs d'origine.
Que se passe-t-il si un dénominateur est le polynôme nul ?
La tâche échoue avec invalid_input. Une expression rationnelle exige un polynôme dénominateur non nul ; den1 et den2 doivent chacun avoir au moins un coefficient non nul.
Combien coûte le calculateur de multiplication d'expressions rationnelles ?
L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.