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Rationale Ausdrücke multiplizieren

Multiplizieren Sie zwei Polynombrüche und erhalten Sie das gekürzte Ergebnis mit Definitionsbereich: (x + 1)/(x − 2) mal (x − 2)/(x + 3) ergibt (x + 1)/(x + 3), ohne die Werte 2 und −3. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

Num1: 1, 1
Den1: 1, -2
Num2: 1, -2
Den2: 1, 3

Erhalten Sie

Ausdruck 1: (x + 1)/(x - 2)
Ausdruck 2: (x - 2)/(x + 3)
Unvereinfachtes Produkt: (x^2 - x - 2)/(x^2 + x - 6)
Produkt: (x + 1)/(x + 3)

Das Multiplizieren rationaler Ausdrücke ist eine zentrale Algebra-Fertigkeit: Sie bilden das Produkt zweier Polynombrüche, faktorisieren wenn möglich, kürzen jeden gemeinsamen Faktor, der zugleich im kombinierten Zähler und im kombinierten Nenner vorkommt, und geben das vereinfachte Produkt zusammen mit den Variablenwerten an, die ausgeschlossen werden müssen, weil sie einen ursprünglichen Nenner null setzen. Lernende, Tutoren, LMS-Autoren und Automatisierungsskripte brauchen dieselbe deterministische Antwort für lehrbuchartige Eingaben ohne Vorzeichenfehler und ohne vergessene Definitionslücken. Dieser Rechner zum Multiplizieren rationaler Ausdrücke nimmt vier Koeffizientenarrays entgegen —Zähler und Nenner jedes Faktors—, multipliziert die Polynome, kürzt ihren monischen größten gemeinsamen Teiler mit dem euklidischen Algorithmus und liefert Anzeigezeichenketten, Koeffizientenlisten, den gekürzten Faktor sowie ausgeschlossene reelle Wurzeln der ursprünglichen Nenner.

Was Multiplizieren rationaler Ausdrücke bedeutet und warum sorgfältig gekürzt wird

Ein rationaler Ausdruck ist ein Quotient von Polynomen, geschrieben n(x) über d(x), wobei d nicht das Nullpolynom ist. Das Produkt zweier solcher Ausdrücke entsteht durch Multiplikation der Zähler und der Nenner: (n1/d1) mal (n2/d2) ist gleich (n1 mal n2) über (d1 mal d2). Dieses unvereinfachte Produkt ist algebraisch korrekt, aber oft nicht gekürzt.

Kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch jeden gemeinsamen Polynomfaktor zu teilen —äquivalent durch ihren monischen größten gemeinsamen Teiler, berechnet mit dem euklidischen Algorithmus auf den Produktpolynomen—. Nach dem Kürzen steht der Restbruch in niedrigsten Termen über dem Koeffizientenkörper der Engine, und der Nenner wird monisch normalisiert, damit Clients eine stabile führende Eins sehen.

Entscheidend: Werte, die einen ursprünglichen Nenner null setzen, bleiben aus dem Definitionsbereich des ursprünglichen Produkts ausgeschlossen, auch wenn diese Faktoren in der vereinfachten Form weggekürzt wurden; Lehrbücher nennen sie hebbare Unstetigkeiten oder Löcher, und Bewertungssysteme markieren sie weiterhin als ausgeschlossen. Lineare Nenner liefern je eine ausgeschlossene Wurzel; quadratische liefern null, eine oder zwei reelle Wurzeln über die quadratische Formel; höhere Grade tragen rationale Wurzeln bei, die bei nahezu ganzzahligen Koeffizienten über den Rationalen-Wurzelsatz gefunden werden. Konstante nichtnull Nenner tragen keine endlichen ausgeschlossenen Wurzeln bei.

Für wen sich die Kontrolle solcher Produkte lohnt

Unterricht und Tutoring-Plattformen nutzen einen Rechner zum Multiplizieren rationaler Ausdrücke, damit Lernende gekürzte Faktoren und ausgeschlossene Werte für beliebige Koeffizientenlisten prüfen können, ohne einen gemeinsamen linearen Faktor von Hand zu verlieren. Examensgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das gekürzte Nullstellen ursprünglicher Nenner weiterhin listet, statt still vorzutäuschen, allein der vereinfachte Nenner definiere den Definitionsbereich. Technik- und Wissenschaftsnotebooks, die Übertragungsfunktionen oder rationale Approximationen zusammensetzen, können zwei echte oder unechte Polynombrüche multiplizieren, ohne ein volles Computeralgebrasystem für ein Vier-Array-Produkt zu importieren.

Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Wenn der Lehrplan später die Division rationaler Ausdrücke verlangt, invertieren Sie den zweiten Bruch und nutzen denselben Multiplizieren-und-Kürzen-Pfad; Addition und Subtraktion erfordern einen gemeinsamen Nenner und liegen außerhalb des Umfangs dieses produktfokussierten Werkzeugs.

Anwendungsfälle

Unterrichts- und Hausaufgabenkontrolle

Lernende senden vier Koeffizientenarrays für zwei rationale Faktoren und prüfen die reduzierte Produktzeichenkette plus ausgeschlossene Werte gegen die Lehrbuchmethode.

Automatische Prüfung und LMS-Bewertung

Bewerten Sie Multiplizieren-und-Vereinfachen-Aufgaben mit einem deterministischen Orakel, das gekürzte Nennerwurzeln weiter ausschließt und nie extra Faktoren erfindet.

Notebooks und rationale Pipelines

Setzen Sie zwei Polynombrüche in Skripten zusammen —Übertragungsfunktionen, Filter, algebraische Modelle— ohne eine vollständige Computeralgebra-Bibliothek.

Häufige Fragen

Warum stehen gekürzte Faktoren weiterhin als ausgeschlossene Werte?

Werte, die einen ursprünglichen Nenner null setzen, liegen außerhalb des Definitionsbereichs des ursprünglichen Produkts auch nach dem Kürzen.

Welche Koeffizientenreihenfolge verwenden die Arrays?

Höchster Grad zuerst: [1, -3, 2] bedeutet x² − 3x + 2, und [1, -1] bedeutet x − 1. Leere Arrays und das Nullpolynom als Nenner werden abgelehnt.

Wie sieht das Produkt vor dem Kürzen aus?

Multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner, entsteht (x² − x − 2)/(x² + x − 6). Beide enthalten den Faktor x − 2, der sich kürzt und (x + 1)/(x + 3) übrig lässt.

Wie viele Nachkommastellen zeigt das Ergebnis?

Standardmäßig 10 Nachkommastellen für Koeffizienten und Nullstellen. Sie können jede ganze Zahl von 0 bis 15 wählen, wenn Sie ein kürzeres oder genaueres Ergebnis brauchen.

Welchen Grad dürfen die Polynome höchstens haben?

Bis Grad 32 für jeden Zähler und Nenner. Jeder Koeffizient muss eine endliche Zahl sein und wird vom höchsten zum niedrigsten Grad notiert: 1, 1 steht für x + 1.

Welcher Faktor wurde im Beispiel gekürzt?

Der Faktor x − 2. Er steht im ersten Nenner und im zweiten Zähler, ist also der größte gemeinsame Teiler von Zähler- und Nennerprodukt und wird vollständig herausgekürzt.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "num1": [
      1,
      1
    ],
    "den1": [
      1,
      -2
    ],
    "num2": [
      1,
      -2
    ],
    "den2": [
      1,
      3
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "num1": [
        1,
        1
    ],
    "den1": [
        1,
        -2
    ],
    "num2": [
        1,
        -2
    ],
    "den2": [
        1,
        3
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "num1": [
    1,
    1
  ],
  "den1": [
    1,
    -2
  ],
  "num2": [
    1,
    -2
  ],
  "den2": [
    1,
    3
  ]
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.multiply_rational_expressions",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Was Multiplizieren rationaler Ausdrücke bedeutet und warum sorgfältig gekürzt wird

Dieser Rechner meldet daher excluded_values aus den Wurzeln von originalem den1 und den2, nicht nur aus dem reduzierten Nenner. Nullnenner werden sofort als invalid_input abgelehnt, weil ein rationaler Ausdruck undefiniert ist, wenn sein Nenner das Nullpolynom ist.

Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten

Optionale precision (Ganzzahl null bis fünfzehn, Standard zehn) steuert die Dezimalstellen von Koeffizienten und Wurzeln. Beispiel: (x+1)/(x−2) mal (x−2)/(x+3) vereinfacht zu (x+1)/(x+3) mit ausgeschlossenen Werten zwei und minus drei, weil x gleich zwei gekürzt wird und dennoch ein Loch bleibt. Kombinieren Sie die Koeffizienten mit Ihrer eigenen Faktorisierungsanzeige, wenn Sie schrittweise Binomkarten brauchen; dieser Endpunkt liefert das exakt reduzierte Produkt und die Definitionsausschlüsse ohne mehrzeilige Prosabeweise. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit vier erforderlichen Koeffizientenarrays in Reihenfolge höchster Grad zuerst: num1 und den1 für den ersten rationalen Ausdruck, num2 und den2 für den zweiten. Beispiel: num1 gleich [1, 1] und den1 gleich [1, -2] codieren (x + 1) über (x − 2); num2 gleich [1, -2] und den2 gleich [1, 3] codieren (x − 2) über (x + 3). Jeder Koeffizient darf eine JSON-Zahl oder eine numerische Zeichenkette sein; fehlende Felder, leere Arrays, Nicht-Arrays, nichtendliche Werte und Grade über zweiunddreißig scheitern mit invalid_input und Feldname. Ist den1 oder den2 das Nullpolynom, scheitert die Aufgabe sofort. Bei Erfolg spiegelt der Körper die vier gerundeten Eingaben; expression1 und expression2 als lesbare Brüche; product_unsimplified als Rohprodukt vor dem Kürzen; product als reduzierte Bruchzeichenkette; numerator- und denominator-Arrays des vereinfachten Ergebnisses; numerator_poly- und denominator_poly-Zeichenketten; cancelled_factor und cancelled_poly für den herausdividierten monischen GGT; cancelled wahr, wenn ein nichtkonstanter Faktor entfernt wurde; gcd_steps mit euklidischen Iterationen; sorted excluded_values, excluded_count und excluded_note zu Definitionslücken; degree_numerator und degree_denominator; precision; method; sowie ein kurzes formula-Feld.

Wo eine API zum Multiplizieren rationaler Ausdrücke Nutzen stiftet

Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz. Halten Sie Anfragen innerhalb der Grad- und Magnitudengrenzen, pinnen Sie in Tests das gerundete Produkt und die excluded_values-Arrays, und Sie erhalten reproduzierbare reduzierte Brüche für Hausaufgaben, LMS-Plugins und Edge-Worker.

Technische Fragen

Wie multipliziere ich zwei rationale Ausdrücke mit diesem Rechner?

Senden Sie num1, den1, num2 und den2 als Koeffizientenarrays mit höchstem Grad zuerst. Die API multipliziert Zähler und Nenner, kürzt den monischen GGT und liefert product plus excluded_values der ursprünglichen Nenner.

Was geschieht, wenn ein Nenner das Nullpolynom ist?

Die Aufgabe scheitert mit invalid_input. Ein rationaler Ausdruck verlangt ein nichtnulles Nennerpolynom; den1 und den2 müssen je mindestens einen von null verschiedenen Koeffizienten haben.

Was kostet der Rechner zum Multiplizieren rationaler Ausdrücke?

Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →

Rationale Ausdrücke multiplizieren

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Was Multiplizieren rationaler Ausdrücke bedeutet und warum sorgfältig gekürzt wird

Für wen sich die Kontrolle solcher Produkte lohnt

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Automatische Prüfung und LMS-Bewertung

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Was Multiplizieren rationaler Ausdrücke bedeutet und warum sorgfältig gekürzt wird

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