Multiplicar expressões racionais
Multiplique duas frações de polinômios e obtenha o resultado simplificado com o domínio: (x + 1)/(x − 2) vezes (x − 2)/(x + 3) dá (x + 1)/(x + 3), excluindo os valores 2 e −3. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Num1
- 1, 1
- Den1
- 1, -2
- Num2
- 1, -2
- Den2
- 1, 3
- Expressão 1
- (x + 1)/(x - 2)
- Expressão 2
- (x - 2)/(x + 3)
- Produto sem simplificar
- (x^2 - x - 2)/(x^2 + x - 6)
- Produto
- (x + 1)/(x + 3)
Multiplicar expressões racionais é uma habilidade central da álgebra: forme o produto de duas frações polinomiais, fatore quando possível, cancele todo fator comum que apareça ao mesmo tempo no numerador combinado e no denominador combinado, e enuncie o produto simplificado junto com os valores da variável que devem ser excluídos porque anulam um denominador original. Alunos, tutores, autores de LMS e scripts de automação precisam da mesma resposta determinística para entradas no estilo do livro, sem erros de sinal flutuantes nem buracos de domínio esquecidos. Esta calculadora de multiplicar expressões racionais aceita quatro arrays de coeficientes —numerador e denominador de cada fator—, multiplica os polinômios, cancela o máximo divisor comum mônico com o algoritmo de Euclides e devolve strings de exibição, listas de coeficientes, o fator cancelado e as raízes reais excluídas dos denominadores originais.
O que significa multiplicar expressões racionais e por que cancelar com cuidado
Uma expressão racional é um quociente de polinômios, escrito n(x) sobre d(x) com d diferente do polinômio nulo. O produto de duas expressões desse tipo define-se multiplicando numeradores e multiplicando denominadores: (n1/d1) vezes (n2/d2) é igual a (n1 vezes n2) sobre (d1 vezes d2). Esse produto não simplificado é algebricamente correto, mas muitas vezes não está reduzido.
Reduzir significa dividir numerador e denominador por todo fator polinomial comum —equivalente a dividir pelo máximo divisor comum mônico calculado com o algoritmo de Euclides nos polinômios produto—. Após o cancelamento, a fração restante fica em termos mínimos sobre o corpo de coeficientes do motor, e o denominador é normalizado mônico para que os clientes vejam um um principal estável.
De forma crítica, os valores que anulam qualquer denominador original permanecem excluídos do domínio do produto original mesmo quando esses fatores se cancelam na forma simplificada; os livros chamam isso de descontinuidades removíveis ou buracos, e os corretores ainda os marcam como excluídos. Denominadores lineares produzem uma raiz excluída cada um; quadráticos produzem zero, uma ou duas raízes reais pela fórmula quadrática; graus superiores contribuem com raízes racionais pelo teorema da raiz racional quando os coeficientes são quase inteiros. Denominadores constantes não nulos não contribuem com raízes finitas excluídas.
Para quem vale conferir esses produtos
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de multiplicar expressões racionais para que os aprendizes verifiquem fatores cancelados e valores excluídos com listas de coeficientes arbitrárias sem perder à mão um fator linear comum. Geradores de preparação para exames precisam de um oráculo determinístico que ainda liste zeros cancelados dos denominadores originais em vez de fingir em silêncio que só o denominador simplificado define o domínio.
Cadernos de engenharia e ciência que compõem funções de transferência ou aproximações racionais podem multiplicar duas frações próprias ou impróprias de polinômios sem importar um sistema completo de álgebra computacional só para um produto de quatro arrays. Validação falha não consome saldo. Quando o currículo pedir depois a divisão de expressões racionais, inverta a segunda fração e use o mesmo caminho de multiplicar e cancelar; adição e subtração exigem denominador comum e ficam fora do escopo desta ferramenta focada no produto.
Casos de uso
Checagens de sala e lição de casa
Alunos enviam quatro arrays de coeficientes de dois fatores racionais e verificam a string do produto reduzido mais os valores excluídos em relação ao método do livro.
Correção automática de exames e LMS
Avalie itens de multiplicar e simplificar com um oráculo determinístico que ainda exclui raízes canceladas do denominador e nunca inventa fatores extras.
Cadernos e pipelines racionais
Componha duas frações polinomiais em scripts —funções de transferência, filtros, modelos algébricos— sem uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Por que fatores cancelados ainda aparecem como valores excluídos?
Valores que anulam um denominador original ficam fora do domínio do produto original mesmo após o cancelamento.
Qual ordem de coeficientes os arrays usam?
Grau mais alto primeiro: [1, -3, 2] significa x² − 3x + 2, e [1, -1] significa x − 1. Arrays vazios e o polinômio nulo como denominador são rejeitados.
Como fica o produto antes de simplificar?
Multiplicando numeradores e denominadores, obtém-se (x² − x − 2)/(x² + x − 6). Os dois têm o fator x − 2 em comum, que se cancela e deixa (x + 1)/(x + 3).
Quantas casas decimais o resultado mostra?
Por padrão, 10 casas decimais nos coeficientes e nas raízes. Você pode escolher qualquer número inteiro de 0 a 15 se precisar de um resultado mais curto ou mais preciso.
Qual é o grau máximo dos polinômios?
Até grau 32 em cada numerador e denominador. Cada coeficiente deve ser um número finito, escrito do grau mais alto para o mais baixo: 1, 1 representa x + 1.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
],
"den2": [
1,
3
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
],
"den2": [
1,
3
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
],
"den2": [
1,
3
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.multiply_rational_expressions",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que significa multiplicar expressões racionais e por que cancelar com cuidado
Por isso esta calculadora informa excluded_values a partir das raízes de den1 e den2 originais, não só do denominador reduzido. Denominadores nulos são rejeitados de imediato como invalid_input porque uma expressão racional é indefinida quando o denominador é o polinômio zero.
Contrato de entrada, formato da resposta e comportamento de erro
A precisão opcional (inteiro de zero a quinze, padrão dez) controla as casas decimais de coeficientes e raízes. Exemplo: (x+1)/(x−2) vezes (x−2)/(x+3) simplifica para (x+1)/(x+3) com valores excluídos dois e menos três, porque x igual a dois cancela e ainda deixa um buraco. Envie por POST um corpo JSON com quatro arrays de coeficientes obrigatórios em ordem do grau mais alto primeiro: num1 e den1 para a primeira expressão racional, num2 e den2 para a segunda. Exemplo: num1 igual a [1, 1] e den1 igual a [1, -2] codificam (x + 1) sobre (x − 2); num2 igual a [1, -2] e den2 igual a [1, 3] codificam (x − 2) sobre (x + 3). Cada coeficiente pode ser um número JSON ou uma string numérica; campos ausentes, arrays vazios, não arrays, valores não finitos e graus acima de trinta e dois falham com invalid_input nomeando o campo. Se den1 ou den2 for o polinômio nulo, a tarefa falha imediatamente. Em caso de sucesso o corpo ecoa as quatro entradas arredondadas; expression1 e expression2 como frações legíveis; product_unsimplified como o produto bruto antes do cancelamento; product como a fração reduzida; arrays numerator e denominator do resultado simplificado; strings numerator_poly e denominator_poly; cancelled_factor e cancelled_poly do MDC mônico dividido; cancelled verdadeiro quando um fator não constante foi removido; gcd_steps contando iterações euclidianas; excluded_values ordenados, excluded_count e excluded_note explicando os buracos de domínio; degree_numerator e degree_denominator; precision; method; e um campo formula breve. Combine os coeficientes com sua própria exibição de fatoração se precisar de cartões binômios passo a passo; este endpoint devolve o produto reduzido exato e as exclusões de domínio sem provas em prosa multilinha.
Onde uma API de multiplicar expressões racionais se paga
Como a implementação é parse pura de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída. Mantenha as requisições dentro dos limites de grau e magnitude, fixe nos testes o produto arredondado e os arrays excluded_values, e você obtém frações reduzidas reproduzíveis para lição de casa, plugins LMS e workers na borda.
Perguntas técnicas
Como multiplico duas expressões racionais com esta calculadora?
Envie num1, den1, num2 e den2 como arrays de coeficientes do grau mais alto primeiro. A API multiplica numeradores e denominadores, cancela o MDC mônico e devolve product mais excluded_values dos denominadores originais.
O que acontece se um denominador for o polinômio nulo?
A tarefa falha com invalid_input. Uma expressão racional exige polinômio denominador não nulo; den1 e den2 devem ter ao menos um coeficiente diferente de zero.
Quanto custa a calculadora de multiplicar expressões racionais?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.