ForHosting KIT · 数学

有理式の乗法計算機

多項式の分数どうしを掛けて、約分した答えと定義域を示します。(x + 1)/(x − 2)と(x − 2)/(x + 3)の積は(x + 1)/(x + 3)で、2と−3は除外されます。ブラウザで無料で使えます。

無料
ブラウザで動作
登録不要
データは端末の外に出ません

無料で実行 API仕様を見る

ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

計算例

入力した場合

Num1: 1, 1
Den1: 1, -2
Num2: 1, -2
Den2: 1, 3

結果

式 1: (x + 1)/(x - 2)
式 2: (x - 2)/(x + 3)
簡約前の積: (x^2 - x - 2)/(x^2 + x - 6)
積: (x + 1)/(x + 3)

有理式の乗法は代数の中核スキルです。二つの多項式分数の積を作り、可能なら因数分解し、結合した分子と分母の両方に現れる共通因子をすべて約分し、簡約した積とともに、もとの分母を零にしたために除外すべき変数の値を述べます。生徒、チューター、LMS著者、自動化スクリプトは、符号の取り違えや定義域の穴の見落としなく、教科書型入力に対して同じ決定論的な答えを必要とします。本有理式乗法計算機は四つの係数配列（各因子の分子と分母）を受け取り、多項式を掛け、ユークリッドの互除法でモニックな最大公約因子を約分し、表示用文字列、係数リスト、約分した因子、もとの分母からの除外される実根を返します。

有理式の乗法の意味と慎重な約分が必要な理由

有理式は多項式の比であり、dが零多項式でないとき n(x) を d(x) で割った形で書きます。二つの有理式の積は、分子同士と分母同士を掛けることで定義されます。(n1/d1) と (n2/d2) の積は (n1 と n2 の積) を (d1 と d2 の積) で割ったものです。

この未簡約の積は代数的には正しいですが、しばしば既約ではありません。簡約とは、分子と分母をすべての共通多項式因子で割ること——すなわち積多項式に対するユークリッドの互除法で求めたモニックな最大公約因子で割ること——です。約分後、残りはエンジンが使う係数体上で既約な分数となり、分母はモニックに正規化され、クライアントは安定した先頭係数1を見ます。

重要な点として、もとの分母のいずれかを零にした値は、簡約形でその因子が約分されても、もとの積の定義域から除外されたままです。教科書では除去可能な不連続点や穴と呼び、採点では依然として除外値として扱います。一次の分母は各1個の除外根、二次は二次公式で0・1・2個の実根、高次は係数がほぼ整数のとき有理根定理で見つかる有理根を寄与します。

非零定数の分母は有限な除外根を持ちません。分母が零多項式のとき有理式は定義されないからです。

有理式の積の確認が役立つ場面

教室やチュータリング基盤では、学習者が任意の係数リストについて約分した因子と除外値を手計算で一次共通因子を落とさずに確認するために有理式乗法計算機を使います。試験準備ジェネレータには、簡約分母だけが定義域を決めると黙って装うのではなく、もとの分母の約分された零点も列挙する決定論的オラクルが必要です。

伝達関数や有理近似を組み立てる工学・科学ノートブックは、四配列の積のためだけにフルの計算機代数系を取り込まずに、二つの真または仮の多項式分数を掛けられます。検証失敗は残高を消費しません。後で有理式の除法を扱うときは第二分数を逆数にして同じ乗法・約分経路を呼び出してください。

加減は共通分母が必要で、本プロダクト中心ツールの範囲外です。

活用例

授業と宿題の確認

生徒が二つの有理因子の係数配列を四つ提出し、簡約積の文字列と除外値を教科書の手順と照合します。

試験・LMS の自動採点

乗法と簡約の設問を、約分された分母の根も除外し余分な因子を作らない決定論的オラクルで採点します。

ノートブックと有理パイプライン

伝達関数、フィルタ、代数モデルなど、二つの多項式分数をスクリプトで合成し、フルの計算機代数ライブラリは不要です。

よくある質問

配列の係数の順序は？

最高次が先頭です。[ 1, -3, 2] は x² − 3x + 2、[1, -1] は x − 1 を意味します。空配列と分母としての零多項式は拒否されます。

約分する前の積はどうなりますか？

分子どうし、分母どうしを掛けると(x² − x − 2)/(x² + x − 6)になります。両方に共通する因数x − 2を約分すると(x + 1)/(x + 3)が残ります。

約分した因数の値が除外されたままなのはなぜですか？

x − 2はもとの分母を0にする因数なので、もとの積は値2では定義されません。約分で式から消えても穴は残るため、除外値として示します。

小数は何桁まで表示されますか？

初期設定では係数と根を小数10桁で表示します。0から15までの整数で桁数を変えられます。

多項式の次数はいくつまでですか？

各分子と分母は32次までです。係数はすべて有限の数で、0の多項式を分母にすることはできません。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "num1": [
      1,
      1
    ],
    "den1": [
      1,
      -2
    ],
    "num2": [
      1,
      -2
    ],
    "den2": [
      1,
      3
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "num1": [
        1,
        1
    ],
    "den1": [
        1,
        -2
    ],
    "num2": [
        1,
        -2
    ],
    "den2": [
        1,
        3
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "num1": [
    1,
    1
  ],
  "den1": [
    1,
    -2
  ],
  "num2": [
    1,
    -2
  ],
  "den2": [
    1,
    3
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.multiply_rational_expressions",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

有理式の乗法の意味と慎重な約分が必要な理由

したがって本計算機は、簡約後の分母だけでなく、もとの den1 と den2 の根から excluded_values を報告します。零分母は invalid_input として即時拒否されます。

入力契約、応答の形、エラー時の振る舞い

任意の precision（0から15の整数、既定10）は係数と根の小数桁を制御します。例：(x+1)/(x−2) と (x−2)/(x+3) の積は (x+1)/(x+3) に簡約され、除外値は2と-3です。段階的な二項のカード表示が必要なら係数を自前の因数分解表示と組み合わせてください。最高次係数を先頭にした必須の係数配列を四つ含む JSON 本体を POST してください。最初の有理式が num1 と den1、二番目が num2 と den2 です。例：num1 が [1, 1]、den1 が [1, -2] は (x + 1)/(x − 2) を、num2 が [1, -2]、den2 が [1, 3] は (x − 2)/(x + 3) を表します。各係数は JSON の数または数値文字列でよく、欠落フィールド、空配列、非配列、非有限値、次数32超はフィールド名付きの invalid_input で失敗します。den1 または den2 が零多項式ならタスクは即座に失敗します。成功時は丸めた四入力、読みやすい分数の expression1 と expression2、約分前の raw 積 product_unsimplified、簡約分数文字列 product、簡約結果の numerator と denominator 配列、numerator_poly と denominator_poly 文字列、割り出したモニック GCD の cancelled_factor と cancelled_poly、非定数因子を除いたときの cancelled、ユークリッド反復回数 gcd_steps、ソート済み excluded_values・excluded_count・定義域の穴を説明する excluded_note、degree_numerator と degree_denominator、precision、method、短い formula フィールドを返します。x=2 は約分されても穴として残るためです。本エンドポイントは厳密な簡約積と定義域除外のみを返し、複数行の散文証明は出しません。

有理式乗法 API が役立つ場面

実装は純粋な parse の tier A のため、成功した各呼び出しはモデルトークンも外向きネットも使わず、公開の基本料金 $0.002 です。次数と大きさの制限内でリクエストし、テストで丸めた product と excluded_values 配列を固定すれば、宿題、LMS プラグイン、エッジワーカー向けに再現可能な簡約分数が得られます。

技術的な質問

この計算機で二つの有理式を掛けるには？

num1、den1、num2、den2 を最高次が先頭の係数配列で送ってください。API は分子と分母を掛け、モニック GCD を約分し、product ともとの分母からの excluded_values を返します。

約分した因子が除外値に残るのはなぜですか？

もとの分母を零にする値は、約分後もとの積の定義域の外です。教科書では穴として扱い、API は採点と定義域の記述のため excluded_values に列挙します。

分母が零多項式だとどうなりますか？

タスクは invalid_input で失敗します。有理式には非零の分母多項式が必要で、den1 と den2 はそれぞれ少なくとも一つの非零係数を持たなければなりません。

有理式の乗法計算機の料金は？

ブラウザツールは無料です。API は成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 を使い、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

有理式の乗法計算機

無料で実行

計算例

有理式の乗法の意味と慎重な約分が必要な理由

有理式の積の確認が役立つ場面

活用例

授業と宿題の確認

試験・LMS の自動採点

ノートブックと有理パイプライン

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

有理式の乗法の意味と慎重な約分が必要な理由

入力契約、応答の形、エラー時の振る舞い

有理式乗法 API が役立つ場面

技術的な質問

ありがとう