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有理式の約分計算機

(x^2 - 1)/(x - 1)はx + 1に約分できますが、元の分母を0にする値1は除外されたままです。共通因数をすべて打ち消し、定義域の穴も示します。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

分子: 1, 0, -1
分母: 1, -1

結果

元の値: (x^2 - 1)/(x - 1)
簡約形: x + 1
約分後の分子: 1, 1
約分後の分母: 1

有理式の約分は代数の基本技能です。可能な限り因数分解し、分子と分母の両方に現れる共通多項式因数をすべて約分して既約にし、元の分母を零にする変数の値を除外として述べます。生徒、チューター、LMS 作者、自動化スクリプトはいずれも、符号の誤りや定義域の穴の見落としのない、教科書型入力に対する同じ決定的な答えを必要とします。この有理式約分計算機は分子と分母の二つの係数配列を受け取り、ユークリッド互除法で単モニック最大公約数を約分し、表示用文字列、係数リスト、約分した因数、元の分母から除外される実根を返します。

有理式の約分の意味と定義域の穴が重要な理由

有理式とは多項式の比であり、d が零多項式でないとき n(x) を d(x) で割った形で書かれます。約分とは、分子と分母をすべての共通多項式因数で割ること、すなわち二つの係数リストに対するユークリッド互除法で求めた単モニック最大公約数で割ることと同等です。

約分後、残る分数はエンジンが用いる係数体上で既約となり、分母は単モニックに正規化されるため、クライアントは安定した先頭係数 1 を見ます。重要な点として、元の分母を零にする値は、その因数が簡約形から消えても、元の式の定義域から除外されたままです。教科書では除去可能な不連続点や穴と呼び、採点でも除外として扱います。

一次分母は除外根を一つ、二次は二次公式により実根を 0・1・2 個、より高次は係数が整数に近いとき有理根定理で見つかる有理根を寄与します。非零定数分母は有限の除外根を与えません。

入力契約、応答の形、エラー時の挙動

任意の precision（0 から 15 の整数、既定 10）は係数と根の小数桁を制御します。分母が零多項式ならタスクは直ちに失敗します。例：(x の二乗マイナス 5x プラス 6) を (x の二乗マイナス 4x プラス 3) で割ると (x マイナス 2)/(x マイナス 1) となり、除外値は 1 と 3 です。

x が 3 の因数は約分されても穴が残ります。二項の段階表示が必要なら係数を独自の因数表示と組み合わせてください。

有理式の約分が役立つ場面

教室やチュータリング基盤は、任意の係数リストについて約分因数と除外値を手計算の見落としなく確認できるよう、有理式約分計算機を用います。試験準備ジェネレータは、簡約分母だけが定義域を決めると静かに装うのではなく、元の分母で約分された零点も列挙する決定的オラクルを必要とします。

伝達関数や有理モデルを簡約する工学・科学ノートでは、二つの配列の簡約だけのために本格的な計算機代数系を入れずに、真分数・仮分数の多項式比を約分できます。検証失敗は残高を消費しません。加減は共通分母が必要で、単一式の約分ツールの範囲外です。

活用例

授業・宿題の照合

学習者が分子と分母の係数配列を送り、既約分数の文字列と除外値を教科書の手順と照合します。

試験・LMS の自動採点

約分と定義域の記述問題を、約分された分母の根も除外し余分な因数を作らない決定的オラクルで採点します。

ノートと有理パイプライン

伝達関数・フィルタ・代数モデルなど、スクリプト内の単一多項式分数を、本格的な計算機代数ライブラリなしで簡約します。

よくある質問

配列の係数の順序は何ですか？

最高次が先です。[ 1, -3, 2] は x² − 3x + 2、[1, -1] は x − 1 です。空配列と零多項式の分母は拒否されます。

分母が零多項式の場合はどうなりますか？

有理式には非零の分母多項式が必要で、denominator には少なくとも一つの非零係数がなければなりません。

この計算機で有理式を約分するにはどうしますか？

分子と分母の係数を次数の高い順に入力します。(x^2 - 1)/(x - 1)なら1, 0, -1と1, -1で、結果はx + 1、除外値は1です。

約分で消えた因数が除外値に残るのはなぜですか？

元の式がその値で定義されないためです。(x^2 - 5x + 6)/(x^2 - 4x + 3)ではx - 3が消えて(x - 2)/(x - 1)になりますが、3と1は除外されたままです。

結果の小数点以下の桁数は選べますか？

はい。係数と除外値の小数点以下を0から15桁の間で指定できます。指定しない場合は10桁に丸めて表示します。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"numerator":[1,0,-1],"denominator":[1,-1]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "numerator": [
      1,
      0,
      -1
    ],
    "denominator": [
      1,
      -1
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "numerator": [
        1,
        0,
        -1
    ],
    "denominator": [
        1,
        -1
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"numerator":[1,0,-1],"denominator":[1,-1]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"numerator":[1,0,-1],"denominator":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "numerator": [
    1,
    0,
    -1
  ],
  "denominator": [
    1,
    -1
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.rational_expression_simplify",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

有理式の約分の意味と定義域の穴が重要な理由

このため本計算機は reduced 分母だけでなく、元の分母の根から excluded_values を報告します。分母が零多項式の場合は有理式が定義されないため、invalid_input として直ちに拒否します。例えば (x の二乗マイナス 1) を (x マイナス 1) で割る古典例は x プラス 1 に約分され、なお x が 1 のときは除外され、クライアントが手で再因数分解しなくても本エンドポイントがその結果を符号化します。

入力契約、応答の形、エラー時の挙動

POST で、次数の高い順の必須係数配列 numerator と denominator を含む JSON 本体を送ってください。例：numerator が [1, 0, -1]、denominator が [1, -1] のとき (x の二乗マイナス 1) を (x マイナス 1) で割った式を表します。各係数は JSON 数または数値文字列でよく、欠落フィールド、空配列、配列以外、非有限値、次数 32 超はフィールド名付きの invalid_input で失敗します。成功時は丸めた二つの入力、約分前の見やすい分数 original、簡約分数文字列 simplified、simplified_numerator と simplified_denominator の係数配列、simplified_numerator_poly と simplified_denominator_poly、割った単モニック GCD の cancelled_factor と cancelled_poly、非定数因数を除いたとき true の cancelled、ユークリッド反復回数 gcd_steps、ソート済み excluded_values、excluded_count、定義域の穴を説明する excluded_note、degree_numerator と degree_denominator、precision、method、短い formula を返します。本エンドポイントは厳密な既約形と定義域除外を返し、複数行の散文証明は出しません。

有理式約分 API が価値を発揮する場面

実装は純粋な parse の tier A のため、成功した各呼び出しは公開された基本料金 $0.002 で、モデルトークンも外向きネットワークも使いません。次数と大きさの制限内でリクエストし、丸めた簡約配列と excluded_values をテストに固定すれば、宿題、LMS プラグイン、エッジワーカー向けに再現可能な既約分数が得られます。のちに二つの有理式の乗法が必要なら、乗じてから約分する専用の乗法エンドポイントを使ってください。

技術的な質問

この計算機で有理式をどう約分しますか。

次数の高い順の係数配列として numerator と denominator を送ってください。API は単モニック GCD を約分し、simplified と元の分母由来の excluded_values を返します。

約分した因数が除外値として残るのはなぜですか。

元の分母を零にする値は、約分後も元の式の定義域の外です。教科書では穴として扱い、API は採点と定義域の記述のため excluded_values に列挙します。

有理式約分計算機の料金はいくらですか。

ブラウザツールは無料です。API は成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 を使い、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

有理式の約分計算機

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関連ツール

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エンドポイント

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リクエスト例

レスポンス例

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入力契約、応答の形、エラー時の挙動

有理式約分 API が価値を発揮する場面

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