Simplificar expressão racional
(x^2 - 1)/(x - 1) se simplifica para x + 1, mas o valor 1 continua excluído porque zerava o denominador original. A calculadora cancela todos os fatores comuns e mostra esses buracos do domínio para você. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Numerador
- 1, 0, -1
- Denominador
- 1, -1
- Original
- (x^2 - 1)/(x - 1)
- Simplificado
- x + 1
- Numerador simplificado
- 1, 1
- Denominador simplificado
- 1
Simplificar uma expressão racional é uma habilidade central da álgebra: escrever uma razão de polinômios em termos mínimos fatorando quando possível, cancelando todo fator polinomial comum do numerador e do denominador, e enunciar os valores da variável que devem ser excluídos porque anulam o denominador original. Alunos, tutores, autores de LMS e scripts de automação precisam da mesma resposta determinística para entradas de livro didático, sem erros de sinal nem buracos de domínio esquecidos. Esta calculadora de simplificar expressão racional aceita dois arranjos de coeficientes —numerador e denominador—, cancela o máximo divisor comum mônico com o algoritmo de Euclides e devolve cadeias de exibição, listas de coeficientes, o fator cancelado e as raízes reais excluídas do denominador original.
O que significa simplificar uma expressão racional e por que os buracos de domínio importam
Uma expressão racional é uma razão de polinômios, escrita n(x) sobre d(x) com d diferente do polinômio nulo. Simplificar significa dividir numerador e denominador por todo fator polinomial comum —equivalente a dividir pelo máximo divisor comum mônico calculado com o algoritmo de Euclides sobre as duas listas de coeficientes—. Após o cancelamento, a fração restante fica em termos mínimos sobre o corpo de coeficientes do motor, e o denominador é normalizado mônico para que os clientes vejam um um principal estável.
De forma crítica, os valores que anulam o denominador original permanecem excluídos do domínio da expressão original mesmo quando esses fatores foram cancelados na forma simplificada; os livros didáticos os chamam de descontinuidades removíveis ou buracos, e os corretores ainda os marcam como excluídos. Denominadores lineares produzem uma raiz excluída; quadráticos produzem zero, uma ou duas raízes reais pela fórmula quadrática; de grau superior contribuem raízes racionais pelo teorema da raiz racional quando os coeficientes são quase inteiros. Denominadores constantes não nulos não contribuem raízes finitas excluídas.
Onde simplificar expressões racionais ajuda
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de simplificar expressão racional para que os aprendizes verifiquem fatores cancelados e valores excluídos com listas de coeficientes arbitrárias sem perder à mão um fator linear comum. Geradores de preparação para exames precisam de um oráculo determinístico que ainda liste zeros cancelados do denominador original em vez de fingir em silêncio que só o denominador simplificado define o domínio.
Cadernos de engenharia e ciência que reduzem funções de transferência ou modelos racionais podem cancelar uma fração própria ou imprópria de polinômios sem importar um sistema de álgebra computacional completo só para uma redução de dois arranjos. Validação falha não consome saldo.
Casos de uso
Verificações de aula e deveres
Os alunos enviam arranjos de coeficientes do numerador e do denominador e verificam a cadeia da fração reduzida mais os valores excluídos frente ao método do livro.
Correção automática de exames e LMS
Corrija itens de simplificar e enunciar o domínio com um oráculo determinístico que ainda exclui raízes canceladas do denominador e nunca inventa fatores extras.
Cadernos e pipelines racionais
Reduza uma única fração polinomial em scripts —funções de transferência, filtros, modelos algébricos— sem uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Por que fatores cancelados ainda aparecem como valores excluídos?
Valores que anulam o denominador original ficam fora do domínio da expressão original mesmo após o cancelamento.
Qual ordem de coeficientes os arranjos usam?
Maior grau primeiro: [1, -3, 2] significa x² − 3x + 2, e [1, -1] significa x − 1. Arranjos vazios e o polinômio nulo como denominador são rejeitados.
O que acontece se o denominador for o polinômio nulo?
Uma expressão racional exige um polinômio denominador não nulo; denominator deve ter pelo menos um coeficiente diferente de zero.
Como simplifico uma expressão racional com esta calculadora?
Digite os coeficientes do numerador e do denominador, da maior potência para a menor. Para (x^2 - 1)/(x - 1) são 1, 0, -1 e 1, -1; o resultado é x + 1, com o valor 1 excluído.
Posso escolher quantas casas decimais o resultado mostra?
Sim. Você pode definir de 0 a 15 casas decimais para os coeficientes e os valores excluídos; se não escolher, os resultados são arredondados para 10 casas decimais.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"numerator":[1,0,-1],"denominator":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"numerator": [
1,
0,
-1
],
"denominator": [
1,
-1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"numerator": [
1,
0,
-1
],
"denominator": [
1,
-1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"numerator":[1,0,-1],"denominator":[1,-1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"numerator":[1,0,-1],"denominator":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"numerator": [
1,
0,
-1
],
"denominator": [
1,
-1
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.rational_expression_simplify",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que significa simplificar uma expressão racional e por que os buracos de domínio importam
Por isso esta calculadora informa excluded_values a partir das raízes do denominador original, não apenas do denominador reduzido. Denominadores nulos são rejeitados de imediato como invalid_input porque uma expressão racional é indefinida quando o denominador é o polinômio zero. Exemplos clássicos de livro como (x ao quadrado menos um) sobre (x menos um) se simplificam para x mais um com x igual a um ainda excluído, o que este endpoint codifica sem exigir que o cliente refatore à mão.
Contrato de entrada, forma da resposta e comportamento de erro
A precision opcional (inteiro de zero a quinze, padrão dez) controla as casas decimais de coeficientes e raízes. Se o denominador for o polinômio nulo, a tarefa falha imediatamente. Exemplo: (x ao quadrado menos cinco x mais seis) sobre (x ao quadrado menos quatro x mais três) se simplifica para (x menos dois) sobre (x menos um) com valores excluídos um e três, porque x igual a três cancelou e ainda deixa um buraco. Envie por POST um corpo JSON com dois arranjos de coeficientes obrigatórios em ordem de maior grau primeiro: numerator e denominator. Exemplo: numerator igual a [1, 0, -1] e denominator igual a [1, -1] codificam (x ao quadrado menos um) sobre (x menos um). Cada coeficiente pode ser um número JSON ou uma cadeia numérica; campos ausentes, arranjos vazios, não arranjos, valores não finitos e graus acima de trinta e dois falham com invalid_input nomeando o campo. Em sucesso o corpo ecoa as duas entradas arredondadas; original como a fração legível antes de cancelar; simplified como a fração reduzida; arranjos simplified_numerator e simplified_denominator; cadeias simplified_numerator_poly e simplified_denominator_poly; cancelled_factor e cancelled_poly do MDC mônico dividido; cancelled verdadeiro quando um fator não constante foi removido; gcd_steps contando iterações euclidianas; excluded_values ordenados, excluded_count e excluded_note que explicam os buracos de domínio; degree_numerator e degree_denominator; precision; method; e um campo formula breve. Combine os coeficientes com sua própria exibição de fatoração se precisar de cartões binomiais passo a passo; este endpoint devolve a forma reduzida exata e as exclusões de domínio sem provas em prosa multilinha.
Onde uma API de simplificar expressão racional gera valor
Como a implementação é parse pura de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída. Mantenha as requisições dentro dos limites de grau e magnitude, fixe nos testes os arranjos simplificados arredondados e excluded_values, e obtenha frações reduzidas reproduzíveis para deveres, plugins LMS e workers na borda. Quando o currículo pedir depois a multiplicação de duas expressões racionais, use o endpoint dedicado de multiplicar que multiplica e depois cancela; adição e subtração exigem denominador comum e ficam fora do escopo desta ferramenta de simplificação de uma única expressão.
Perguntas técnicas
Como simplifico uma expressão racional com esta calculadora?
Envie numerator e denominator como arranjos de coeficientes de maior grau primeiro. A API cancela o MDC mônico e devolve simplified mais excluded_values do denominador original.
Quanto custa a calculadora de simplificar expressão racional?
A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo KIT pré-pago a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.