Semplificare espressione razionale
(x^2 - 1)/(x - 1) si semplifica in x + 1, ma il valore 1 resta escluso perché annullava il denominatore originale. La calcolatrice cancella tutti i fattori comuni e le segnala questi buchi del dominio. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Numeratore
- 1, 0, -1
- Denominatore
- 1, -1
- Originale
- (x^2 - 1)/(x - 1)
- Semplificato
- x + 1
- Numeratore semplificato
- 1, 1
- Denominatore semplificato
- 1
Semplificare un'espressione razionale è una competenza centrale dell'algebra: scrivere un quoziente di polinomi in termini minimi fattorizzando quando possibile, cancellando ogni fattore polinomiale comune a numeratore e denominatore, e enunciare i valori della variabile da escludere perché annullano il denominatore originale. Studenti, tutor, autori di LMS e script di automazione necessitano della stessa risposta deterministica per ingressi da libro di testo, senza errori di segno né buchi di dominio dimenticati. Questa calcolatrice per semplificare espressioni razionali accetta due array di coefficienti — numeratore e denominatore —, cancella il massimo comun divisore monico con l'algoritmo di Euclide e restituisce stringhe di visualizzazione, elenchi di coefficienti, il fattore cancellato e le radici reali escluse del denominatore originale.
Cosa significa semplificare un'espressione razionale e perché contano i buchi di dominio
Un'espressione razionale è un quoziente di polinomi, scritto n(x) su d(x) con d diverso dal polinomio nullo. Semplificare significa dividere numeratore e denominatore per ogni fattore polinomiale comune — equivalentemente per il loro massimo comun divisore monico calcolato con l'algoritmo di Euclide sulle due liste di coefficienti. Dopo la cancellazione la frazione restante è in termini minimi sul campo dei coefficienti del motore, e il denominatore è normalizzato monico così i client vedono un uno principale stabile.
In modo critico, i valori che annullano il denominatore originale restano esclusi dal dominio dell'espressione originale anche quando quei fattori sono scomparsi dalla forma semplificata; i libri di testo li chiamano discontinuità eliminabili o buchi, e i correttori li segnano ancora come esclusi. I denominatori lineari danno una radice esclusa; i quadratici zero, una o due radici reali con la formula quadratica; i gradi superiori contribuiscono radici razionali col teorema della radice razionale quando i coefficienti sono quasi interi. I denominatori costanti non nulli non contribuiscono radici finite escluse.
Dove semplificare espressioni razionali è utile
Aule e piattaforme di tutoraggio usano una calcolatrice per semplificare espressioni razionali così gli apprendenti verificano fattori cancellati e valori esclusi su liste di coefficienti arbitrarie senza perdere a mano un fattore lineare comune. I generatori di preparazione agli esami necessitano di un oracolo deterministico che elenchi ancora gli zeri cancellati del denominatore originale invece di fingere in silenzio che solo il denominatore semplificato definisca il dominio.
Quaderni di ingegneria e scienza che riducono funzioni di trasferimento o modelli razionali possono cancellare una frazione propria o impropria di polinomi senza importare un intero sistema di algebra computazionale per una riduzione a due array. La validazione fallita non consuma saldo.
Casi d'uso
Verifiche in classe e compiti
Gli studenti inviano array di coefficienti di numeratore e denominatore e verificano la stringa della frazione ridotta più i valori esclusi rispetto al metodo del libro.
Correzione automatica di esami e LMS
Valuti voci di semplificazione e enunciazione del dominio con un oracolo deterministico che esclude ancora le radici cancellate del denominatore e non inventa mai fattori extra.
Quaderni e pipeline razionali
Riduca una singola frazione polinomiale negli script — funzioni di trasferimento, filtri, modelli algebrici — senza una libreria completa di algebra computazionale.
Domande frequenti
Perché i fattori cancellati restano elencati come valori esclusi?
I valori che annullano il denominatore originale restano fuori dal dominio dell'espressione originale anche dopo la cancellazione.
Quale ordine di coefficienti usano gli array?
Grado decrescente: [1, -3, 2] significa x² − 3x + 2, e [1, -1] significa x − 1. Array vuoti e il polinomio nullo come denominatore sono rifiutati.
Cosa succede se il denominatore è il polinomio nullo?
Un'espressione razionale richiede un polinomio denominatore non nullo; denominator deve avere almeno un coefficiente diverso da zero.
Come semplifico un’espressione razionale con questa calcolatrice?
Inserisca i coefficienti del numeratore e del denominatore, dalla potenza più alta alla più bassa. Per (x^2 - 1)/(x - 1) sono 1, 0, -1 e 1, -1; il risultato è x + 1, con il valore 1 escluso.
Posso scegliere quanti decimali mostra il risultato?
Sì. Può impostare da 0 a 15 decimali per i coefficienti e i valori esclusi; se non sceglie nulla, i risultati vengono arrotondati a 10 decimali.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"numerator":[1,0,-1],"denominator":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"numerator": [
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0,
-1
],
"denominator": [
1,
-1
]
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});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"numerator": [
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0,
-1
],
"denominator": [
1,
-1
]
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"numerator":[1,0,-1],"denominator":[1,-1]}',
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]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"numerator":[1,0,-1],"denominator":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/rational-expression-simplify", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"numerator": [
1,
0,
-1
],
"denominator": [
1,
-1
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.rational_expression_simplify",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Cosa significa semplificare un'espressione razionale e perché contano i buchi di dominio
Questa calcolatrice segnala quindi excluded_values dalle radici del denominatore originale, non solo dal denominatore ridotto. I denominatori nulli sono rifiutati subito come invalid_input perché un'espressione razionale è indefinita se il denominatore è il polinomio zero. Esempi classici di libro come (x al quadrato meno uno) su (x meno uno) si semplificano in x più uno con x uguale a uno ancora escluso, codificato da questo endpoint senza imporre al client di rifattorizzare a mano.
Contratto di ingresso, forma della risposta e comportamento sugli errori
La precision opzionale (intero da zero a quindici, predefinito dieci) controlla le cifre decimali di coefficienti e radici. Se il denominatore è il polinomio nullo, l'attività fallisce subito. Esempio: (x al quadrato meno cinque x più sei) su (x al quadrato meno quattro x più tre) si semplifica in (x meno due) su (x meno uno) con valori esclusi uno e tre, perché x uguale a tre si cancella ma lascia un buco. Invii in POST un corpo JSON con due array di coefficienti obbligatori in ordine di grado decrescente: numerator e denominator. Esempio: numerator uguale a [1, 0, -1] e denominator uguale a [1, -1] codificano (x al quadrato meno uno) su (x meno uno). Ogni coefficiente può essere un numero JSON o una stringa numerica; campi mancanti, array vuoti, non-array, valori non finiti e gradi oltre trentadue falliscono con invalid_input nominando il campo. In caso di successo il corpo ripete i due ingressi arrotondati; original come frazione leggibile prima della cancellazione; simplified come frazione ridotta; array simplified_numerator e simplified_denominator; stringhe simplified_numerator_poly e simplified_denominator_poly; cancelled_factor e cancelled_poly del MCD monico diviso; cancelled vero quando è stato rimosso un fattore non costante; gcd_steps che contano le iterazioni euclidee; excluded_values ordinati, excluded_count e excluded_note che spiegano i buchi di dominio; degree_numerator e degree_denominator; precision; method; e un breve campo formula. Abbini i coefficienti alla propria visualizzazione di fattorizzazione se serve carte binomiali passo passo; questo endpoint restituisce la forma ridotta esatta e le esclusioni di dominio senza prove in prosa multilinea.
Dove un'API per semplificare espressioni razionali genera valore
Poiché l'implementazione è parse pura di livello A, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello né rete in uscita. Mantenga le richieste entro i limiti di grado e magnitudine, fissi nei test gli array semplificati arrotondati e excluded_values, e ottenga frazioni ridotte riproducibili per compiti, plugin LMS e worker all'edge. Quando il curriculum chiederà poi di moltiplicare due espressioni razionali, usi l'endpoint dedicato di moltiplicazione che moltiplica e poi cancella; addizione e sottrazione richiedono un denominatore comune e restano fuori dallo scopo di questo strumento di semplificazione di una sola espressione.
Domande tecniche
Come semplifico un'espressione razionale con questa calcolatrice?
Invii numerator e denominator come array di coefficienti a grado decrescente. L'API cancella il loro MCD monico e restituisce simplified più excluded_values del denominatore originale.
Quanto costa la calcolatrice per semplificare espressioni razionali?
Lo strumento nel browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo KIT prepagato a $0.002 per chiamata riuscita; l'ingresso non valido non viene addebitato.