Moltiplicare espressioni razionali
Moltiplichi due frazioni di polinomi e ottenga il risultato semplificato con il dominio: (x + 1)/(x − 2) per (x − 2)/(x + 3) dà (x + 1)/(x + 3), escludendo i valori 2 e −3. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Num1
- 1, 1
- Den1
- 1, -2
- Num2
- 1, -2
- Den2
- 1, 3
- Espressione 1
- (x + 1)/(x - 2)
- Espressione 2
- (x - 2)/(x + 3)
- Prodotto non semplificato
- (x^2 - x - 2)/(x^2 + x - 6)
- Prodotto
- (x + 1)/(x + 3)
Moltiplicare espressioni razionali è una competenza centrale dell'algebra: formi il prodotto di due frazioni polinomiali, fattorizzi quando possibile, cancelli ogni fattore comune che compare sia nel numeratore combinato sia nel denominatore combinato, poi enunci il prodotto semplificato insieme ai valori della variabile da escludere perché annullano un denominatore originale. Studenti, tutor, autori di LMS e script di automazione necessitano della stessa risposta deterministica per ingressi da manuale, senza errori di segno né buchi di dominio dimenticati. Questa calcolatrice per moltiplicare espressioni razionali accetta quattro array di coefficienti —numeratore e denominatore di ciascun fattore—, moltiplica i polinomi, cancella il loro massimo comun divisore monico con l'algoritmo di Euclide e restituisce stringhe di visualizzazione, elenchi di coefficienti, il fattore cancellato e le radici reali escluse dai denominatori originali.
Cosa significa moltiplicare espressioni razionali e perché cancellare con cura
Un'espressione razionale è un quoziente di polinomi, scritto n(x) su d(x) con d diverso dal polinomio nullo. Il prodotto di due tali espressioni si definisce moltiplicando i numeratori e i denominatori: (n1/d1) per (n2/d2) è uguale a (n1 per n2) su (d1 per d2). Quel prodotto non semplificato è algebricamente corretto ma spesso non ridotto.
Ridurre significa dividere numeratore e denominatore per ogni fattore polinomiale comune —equivalentemente per il loro massimo comun divisore monico calcolato con l'algoritmo di Euclide sui polinomi prodotto—. Dopo la cancellazione la frazione restante è in termini minimi sul campo dei coefficienti del motore, e il denominatore è normalizzato monico così i client vedono un uno principale stabile.
In modo critico, i valori che annullano un denominatore originale restano esclusi dal dominio del prodotto originale anche quando quei fattori si sono cancellati nella forma semplificata; i manuali li chiamano discontinuità eliminabili o buchi, e i correttori li segnano ancora come esclusi. I denominatori lineari danno una radice esclusa ciascuno; i quadratici zero, una o due radici reali tramite la formula quadratica; i gradi superiori contribuiscono radici razionali col teorema della radice razionale quando i coefficienti sono quasi interi. I denominatori costanti non nulli non contribuiscono radici finite escluse.
A chi serve verificare questi prodotti
Aule e piattaforme di tutoraggio usano una calcolatrice per moltiplicare espressioni razionali così gli apprendisti possono verificare fattori cancellati e valori esclusi per elenchi di coefficienti arbitrari senza perdere a mano un fattore lineare comune. I generatori di preparazione agli esami necessitano di un oracolo deterministico che elenchi ancora gli zeri cancellati dei denominatori originali invece di fingere in silenzio che solo il denominatore semplificato definisca il dominio.
I notebook di ingegneria e scienza che compongono funzioni di trasferimento o approssimazioni razionali possono moltiplicare due frazioni proprie o improprie di polinomi senza importare un intero sistema di algebra computazionale per un prodotto di quattro array. La validazione fallita non consuma saldo. Quando il programma chiederà poi la divisione di espressioni razionali, inverta la seconda frazione e usi lo stesso percorso moltiplica-e-cancella; addizione e sottrazione richiedono un denominatore comune e restano fuori dall'ambito di questo strumento incentrato sul prodotto.
Casi d'uso
Controlli in classe e compiti
Gli studenti inviano quattro array di coefficienti per due fattori razionali e verificano la stringa del prodotto ridotto più i valori esclusi rispetto al metodo del manuale.
Valutazione automatica di esami e LMS
Valuti voci moltiplica-e-semplifica con un oracolo deterministico che esclude ancora le radici cancellate del denominatore e non inventa mai fattori extra.
Notebook e pipeline razionali
Composi due frazioni polinomiali negli script —funzioni di trasferimento, filtri, modelli algebrici— senza una libreria completa di algebra computazionale.
Domande frequenti
Perché i fattori cancellati restano elencati come valori esclusi?
I valori che annullano un denominatore originale restano fuori dal dominio del prodotto originale anche dopo la cancellazione.
Quale ordine dei coefficienti usano gli array?
Grado più alto per primo: [1, -3, 2] significa x² − 3x + 2, e [1, -1] significa x − 1. Array vuoti e il polinomio nullo come denominatore sono rifiutati.
Com'è il prodotto prima della semplificazione?
Moltiplicando numeratori e denominatori si ottiene (x² − x − 2)/(x² + x − 6). Entrambi contengono il fattore x − 2, che si semplifica e lascia (x + 1)/(x + 3).
Quanti decimali mostra il risultato?
Per impostazione predefinita 10 decimali per coefficienti e radici. Può scegliere qualsiasi numero intero da 0 a 15 se le serve un risultato più breve o più preciso.
Qual è il grado massimo dei polinomi?
Fino al grado 32 per ogni numeratore e denominatore. Ogni coefficiente deve essere un numero finito, scritto dal grado più alto al più basso: 1, 1 rappresenta x + 1.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
],
"den2": [
1,
3
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
],
"den2": [
1,
3
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"num1":[1,1],"den1":[1,-2],"num2":[1,-2],"den2":[1,3]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/multiply-rational-expressions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"num1": [
1,
1
],
"den1": [
1,
-2
],
"num2": [
1,
-2
],
"den2": [
1,
3
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.multiply_rational_expressions",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Cosa significa moltiplicare espressioni razionali e perché cancellare con cura
Questa calcolatrice quindi riporta excluded_values dalle radici di den1 e den2 originali, non solo dal denominatore ridotto. I denominatori nulli vengono rifiutati subito come invalid_input perché un'espressione razionale è indefinita quando il denominatore è il polinomio zero.
Contratto di ingresso, forma della risposta e comportamento di errore
La precisione opzionale (intero da zero a quindici, predefinito dieci) controlla le cifre decimali di coefficienti e radici. Esempio: (x+1)/(x−2) per (x−2)/(x+3) si semplifica in (x+1)/(x+3) con valori esclusi due e meno tre, perché x uguale a due si cancella ma lascia un buco. Invii in POST un corpo JSON con quattro array di coefficienti obbligatori in ordine di grado decrescente: num1 e den1 per la prima espressione razionale, num2 e den2 per la seconda. Esempio: num1 uguale a [1, 1] e den1 uguale a [1, -2] codificano (x + 1) su (x − 2); num2 uguale a [1, -2] e den2 uguale a [1, 3] codificano (x − 2) su (x + 3). Ogni coefficiente può essere un numero JSON o una stringa numerica; campi assenti, array vuoti, non-array, valori non finiti e gradi oltre trentadue falliscono con invalid_input indicando il campo. Se den1 o den2 è il polinomio nullo, l'attività fallisce subito. In caso di successo il corpo ecoa i quattro ingressi arrotondati; expression1 e expression2 come frazioni leggibili; product_unsimplified come prodotto grezzo prima della cancellazione; product come frazione ridotta; array numerator e denominator del risultato semplificato; stringhe numerator_poly e denominator_poly; cancelled_factor e cancelled_poly per l'MCD monico diviso; cancelled vero quando è stato rimosso un fattore non costante; gcd_steps che contano le iterazioni euclidee; excluded_values ordinati, excluded_count e excluded_note che spiegano i buchi di dominio; degree_numerator e degree_denominator; precision; method; e un breve campo formula. Abbini i coefficienti alla Sua visualizzazione di fattorizzazione se serve a carte binomie passo-passo; questo endpoint restituisce il prodotto ridotto esatto e le esclusioni di dominio senza prove in prosa multilinea.
Dove un'API per moltiplicare espressioni razionali conviene
Poiché l'implementazione è parse pura di livello A, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello né rete in uscita. Mantenga le richieste entro i limiti di grado e magnitudine, fissi nei test il prodotto arrotondato e gli array excluded_values, e otterrà frazioni ridotte riproducibili per compiti, plugin LMS e worker all'edge.
Domande tecniche
Come moltiplico due espressioni razionali con questa calcolatrice?
Invii num1, den1, num2 e den2 come array di coefficienti a grado decrescente. L'API moltiplica numeratori e denominatori, cancella l'MCD monico e restituisce product più excluded_values dei denominatori originali.
Cosa succede se un denominatore è il polinomio nullo?
L'attività fallisce con invalid_input. Un'espressione razionale richiede un polinomio denominatore non nullo; den1 e den2 devono avere ciascuno almeno un coefficiente diverso da zero.
Quanto costa la calcolatrice per moltiplicare espressioni razionali?
Lo strumento nel browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l'ingresso non valido non viene addebitato.