Calculadora de divisão de polinômios

A divisão de polinômios é o algoritmo de Euclides sobre polinômios em uma variável: dados um dividendo p(x) e um divisor d(x) diferente de zero, existem polinômios únicos q(x) e r(x) tais que p é igual a d vezes q mais r, e ou r é o polinômio zero ou o grau de r é estritamente menor que o grau de d. Quem estuda encontra essa identidade ao dividir pela primeira vez x ao quadrado menos três x mais dois por x menos um e recuperar o quociente linear x menos dois. Quem trabalha em engenharia a usa ao cancelar um fator, reduzir uma função de transferência ou calcular um resto para avaliação posterior. Esta calculadora de divisão de polinômios aceita ambos os polinômios como arrays densos de coeficientes em ordem de grau decrescente, rejeita o polinômio zero como divisor e devolve os arrays de quociente e resto junto com os graus e cadeias compactas de polinômio.

O que a divisão de polinômios significa e como surgem o quociente e o resto

A divisão de polinômios em uma variável é o análogo exato da divisão longa de inteiros. Nos inteiros, 17 por 5 produz quociente 3 e resto 2 porque 17 é igual a 5 vezes 3 mais 2 e o resto é menor que o divisor.

Para polinômios vale o mesmo enunciado euclidiano: dados um dividendo p(x) e um divisor d(x) diferente de zero, existe um par único de polinômios q(x) e r(x) tais que p(x) é igual a d(x) vezes q(x) mais r(x), e ou r é identicamente zero ou o grau de r é estritamente menor que o grau de d. A intenção de busca se agrupa em frases como divisão de polinômios, dividir dois polinômios, quociente e resto de um polinômio, e algoritmo de Euclides para polinômios.

Problemas de sala de aula costumam enviar listas com o grau mais alto primeiro, por exemplo um, menos três, dois para x ao quadrado menos três x mais dois, e um, menos um para x menos um, e esperam o quociente linear um, menos dois com resto zero. Notas de controle e de processamento de sinais usam a mesma identidade para cancelar um polo contra um zero ou para reduzir o grau de um numerador antes de avaliar um resto.

Ao contrário da divisão sintética, que só trata um fator linear mônico da forma x menos r, a divisão completa aceita um divisor de qualquer grau positivo, inclusive quadráticos e superiores, e por isso é a ferramenta geral quando o denominador não é um fator linear simples.

Contrato de entrada, ordem dos coeficientes, validação e forma da resposta

Cada array é uma lista densa de coeficientes finitos em ordem de grau decrescente, de modo que a primeira entrada é o coeficiente líder e a última é o termo constante. Zeros à esquerda são removidos antes de o grau ser calculado, então zero, zero, um, menos três, dois é tratado como a mesma quadrática. Cadeias numéricas que se interpretam como decimais comuns são aceitas para que envios de formulário e exportações de planilha continuem cômodos.

Se, após o recorte, todos os coeficientes do divisor forem zero, a solicitação falha com a mensagem de que o divisor não pode ser o polinômio zero, porque a divisão por zero é indefinida no anel de polinômios. Também são rejeitados coeficientes cujo valor absoluto ultrapassa o teto de magnitude declarado, ou arrays cujo grau ultrapassa o máximo declarado.

Em caso de sucesso, o corpo ecoa o dividendo e o divisor recortados, devolve quociente e resto como arrays com o grau mais alto primeiro arredondados à precisão pedida (dez casas decimais por padrão), informa os quatro graus públicos, define exact como true quando o resto é o polinômio zero e inclui cadeias compactas de polinômio mais a fórmula da identidade. Quando o grau do dividendo já é menor que o do divisor, o quociente é o polinômio zero e o resto é o próprio dividendo.

A validação falha não é cobrada.

Onde dividir polinômios ajuda e o que não faz

Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de divisão de polinômios para que quem aprende confira o quociente e o resto de listas arbitrárias de coeficientes sem perder um sinal ao alinhar à mão as colunas da divisão longa. Geradores de prova e corretores automáticos de LMS precisam de um oráculo determinístico que rejeite um divisor nulo em vez de inventar um quociente em silêncio, e que devolva arrays que um corretor possa comparar elemento a elemento. Entrada inválida não consome saldo.

Os limites são intencionais: apenas divisão densa univariada, não divisão multivariada, não fatoração em irredutíveis e não um localizador de raízes. Se você precisa do máximo divisor comum de dois polinômios, das raízes de um único polinômio ou da divisão sintética por x menos r, escolha essas capacidades dedicadas em vez de esticar este contrato. Mantenha as solicitações dentro dos limites publicados de grau e magnitude, fixe nos testes os coeficientes arredondados e você obtém pares reproduzíveis de quociente e resto sem montar infraestrutura simbólica própria.