حاسبة قسمة كثيرات الحدود
اقسم كثيرة حدود على أخرى واحصل على الخارج والباقي: قسمة x² − 3x + 2 على x − 1 تعطي x − 2 والباقي 0. ويمكن أن يكون المقسوم عليه من أي درجة، لا من الشكل x − r فقط. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
قسمة كثيرات الحدود هي خوارزمية إقليدس على كثيرات الحدود ذات المتغير الواحد: إذا أُعطي مقسوم p(x) ومقسوم عليه d(x) غير صفري، وُجدت كثيرتا حدود وحيدتان q(x) و r(x) بحيث يساوي p حاصل ضرب d في q مضافًا إليه r، ويكون r كثيرة الحدود الصفرية أو تكون درجة r أصغر تمامًا من درجة d. يلتقي الدارسون بهذه المتطابقة حين يقسمون لأول مرة مربع x ناقص ثلاثة x زائد اثنين على x ناقص واحد فيحصلون على الخارج الخطي x ناقص اثنين. ويستعملها المهندسون عند حذف عامل أو اختزال دالة تحويل أو حساب باقٍ لتقييمه لاحقًا. تقبل حاسبة قسمة كثيرات الحدود هاتين الكثيرتين كمصفوفتي معاملات كثيفتين بترتيب الدرجة التنازلي، وترفض كثيرة الحدود الصفرية مقسومًا عليه، وتعيد مصفوفتَي الخارج والباقي مع الدرجات وسلاسل كثيرات حدود موجزة.
معنى قسمة كثيرات الحدود وكيف يظهر الخارج والباقي
قسمة كثيرات الحدود ذات المتغير الواحد هي النظير التام للقسمة المطوّلة على الأعداد الصحيحة. في الأعداد الصحيحة يعطي 17 على 5 خارجًا 3 وباقيًا 2 لأن 17 يساوي 5 في 3 زائد 2 والباقي أصغر من المقسوم عليه. ولكثيرات الحدود يصح البيان الإقليدي نفسه: إذا أُعطي مقسوم p(x) ومقسوم عليه d(x) غير صفري، وُجد زوج وحيد من كثيرتي الحدود q(x) و r(x) بحيث يساوي p(x) حاصل ضرب d(x) في q(x) مضافًا إليه r(x)، ويكون r صفرًا تطابقيًا أو تكون درجة r أصغر تمامًا من درجة d.
تتجمع نية البحث حول عبارات مثل قسمة كثيرات الحدود، قسمة كثيرتي حدود، خارج وباقي كثيرة حدود، وخوارزمية إقليدس لكثيرات الحدود. ترسل مسائل الصف عادة قوائم بأعلى درجة أولًا، مثل واحد وناقص ثلاثة واثنين لمربع x ناقص ثلاثة x زائد اثنين، وواحد وناقص واحد لـ x ناقص واحد، وتتوقع الخارج الخطي واحد وناقص اثنين مع باقٍ صفري. تستعمل ملاحظات التحكم ومعالجة الإشارة المتطابقة نفسها لحذف قطب مقابل صفر أو لخفض درجة بسط قبل تقييم باقٍ.
بخلاف القسمة التركيبية التي لا تعالج إلا عاملًا خطيًا أحاديًا من الصورة x ناقص r، تقبل القسمة الكاملة مقسومًا عليه بأي درجة موجبة بما فيها التربيعية وأعلى، فهي الأداة العامة حين لا يكون المقام عاملًا خطيًا بسيطًا. ينفّذ هذا الطرف ذلك الخوارزم العام ويبلّغ مصفوفات المعاملات الكثيفة وسلاسل العرض الموجزة معًا حتى يقرأ الإنسان والآلة الجواب نفسه.
عقد الإدخال وترتيب المعاملات والتحقق وشكل الاستجابة
كل مصفوفة قائمة كثيفة من معاملات منتهية بترتيب الدرجة التنازلي، فأول عنصر هو المعامل القائد وآخر عنصر هو الحد الثابت. تُحذف الأصفار الأمامية قبل حساب الدرجة، فيُعامل صفر وصفر وواحد وناقص ثلاثة واثنين على أنه التربيعية نفسها. تُقبل السلاسل العددية التي تُفسَّر ككسور عشرية عادية حتى تبقى إرسالات النماذج وتصديرات الجداول مريحة.
إذا كانت كل معاملات المقسوم عليه أصفارًا بعد التشذيب، تفشل الطلبية برسالة أن المقسوم عليه يجب ألا يكون كثيرة الحدود الصفرية، لأن القسمة على صفر غير معرّفة في حلقة كثيرات الحدود. تُرفض كذلك المعاملات التي يتجاوز مقدارها المطلق سقف المقدار المعلن، أو المصفوفات التي تتجاوز درجتها الحد الأقصى المعلن.
عند النجاح يعيد الجسم صدى المقسوم والمقسوم عليه المشذَّبين، ويعيد الخارج والباقي كمصفوفات أعلى درجة أولًا مقربة إلى الدقة المطلوبة (عشر منازل عشرية افتراضيًا)، ويبلّغ الدرجات الأربع العلنية، ويضبط exact إلى true عندما يكون الباقي كثيرة الحدود الصفرية، ويضم سلاسل كثيرات حدود موجزة مع صيغة المتطابقة. عندما تكون درجة المقسوم أصغر أصلًا من درجة المقسوم عليه، يكون الخارج كثيرة الحدود الصفرية والباقي هو المقسوم نفسه. لا تُفوتر عملية التحقق الفاشلة.
أين تستحق واجهة قسمة كثيرات الحدود موضعها وما الذي لا تفعله
تستعمل القاعات ومنصات الإرشاد حاسبة قسمة كثيرات الحدود حتى يتحقق الدارسون من الخارج والباقي معًا لأي قوائم معاملات دون أن يضيعوا إشارة وهم يصفّون أعمدة القسمة المطوّلة يدويًا. تحتاج مولّدات الاختبارات ومصححات LMS الآلية إلى وسيط حتمي يرفض مقسومًا عليه صفريًا بدل اختراع خارج في صمت، ويعيد مصفوفات يقارنها المصحح عنصرًا بعنصر. تستفيد مواقع المحتوى التي ترتب على استعلام قسمة كثيرات الحدود من أداة حية يطابق مسارها المجاني في المتصفح مسار الأتمتة المدفوع مقدمًا بايتًا ببايت على الوحدة النقية نفسها.
لا يستهلك الإدخال غير الصالح الرصيد. الحدود مقصودة: قسمة كثيفة بمتغير واحد فقط، لا قسمة متعددة المتغيرات، ولا تحليل إلى غير قابل للاختزال، ولا باحث عن جذور. إن احتجتم إلى القاسم المشترك الأكبر لكثيرتي حدود، أو إلى جذور كثيرة حدود واحدة، أو إلى القسمة التركيبية على x ناقص r، فاختاروا تلك القدرات المخصصة بدل مدّ هذا العقد.
صلوا الطرف بتمارين الجبر ومختزلات دوال التحويل ومصححات المسابقات وتجهيزات التكامل المستمر التي يجب أن تثبّت مصفوفات عددية دقيقة. أبقوا الطلبات داخل حدود الدرجة والمقدار المنشورة، وثبّتوا المعاملات المقربة في الاختبارات، فتحصلون على أزواج خارج وباقٍ قابلة للتكرار من دون إقامة بنية حساب رمزي خاصة بكم.
حالات الاستخدام
فحوص قسمة كثيرات الحدود في الصف والواجبات
دعوا الدارسين يرسلون مصفوفتين من المعاملات بأعلى درجة أولًا ويتحققوا من الخارج والباقي مقابل القسمة المطوّلة في الكتاب، بما في ذلك الحالات التامة وغير التامة.
تصحيح الاختبارات وLMS آليًا
قيّموا بنود قسمة كثيرات الحدود بوسيط حتمي يرفض كثيرة الحدود الصفرية مقسومًا عليه ولا يخترع أبدًا حدود باقٍ زائدة.
دفاتر واختزال الدوال النسبية
احذفوا أو اختزلوا كثيرات حدود كثيفة بمتغير واحد في سكربتات التحكم والإشارة من دون استيراد مكتبة جبر حاسوبي كاملة.
الأسئلة الشائعة
كيف أقسم كثيرتي حدود بهذه الحاسبة؟
مثال: [1, -3, 2] مقسومًا على [1, -1] يعيد الخارج [1, -2] والباقي [0]، أي (x² − 3x + 2) / (x − 1) = x − 2.
ماذا يحدث إذا كان المقسوم عليه كثيرة الحدود الصفرية؟
القسمة على كثيرة الحدود الصفرية غير معرّفة، فتُرفض الطلبية ولا تُفوتر.
بأي ترتيب ينبغي إرسال المعاملات؟
الدرجة التنازلية: العدد الأول هو المعامل القائد والأخير هو الحد الثابت. تُحذف الأصفار الأمامية قبل حساب الدرجات.
متى يكون الباقي صفرًا؟
عندما يقسم المقسوم عليه المقسوم تمامًا. تضبط الاستجابة عندئذ exact إلى true و remainder إلى [0]. وإلا فإن deg(remainder) أصغر تمامًا من deg(divisor).
ما الفرق بينها وبين القسمة التركيبية؟
القسمة التركيبية لا تصلح إلا عندما يكون المقسوم عليه عاملًا خطيًا بسيطًا من الشكل x − r. أما هنا فيمكن أن يكون المقسوم عليه من أي درجة موجبة، بما في ذلك التربيعية وما فوقها، فتغطي الحالات التي لا يكون فيها المقام عاملًا خطيًا واحدًا.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"dividend": [
1,
-3,
2
],
"divisor": [
1,
-1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"dividend": [
1,
-3,
2
],
"divisor": [
1,
-1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/polynomial-division", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"dividend": [
1,
-3,
2
],
"divisor": [
1,
-1
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.polynomial_division",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_degree | 64 |
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تغذي الدالة النقية نفسها أداة المتصفح المجانية ومسار API المدفوع مقدمًا، فلا تختلف فحوص الواجبات ولا اختبارات دخان الجبر الحاسوبي ولا عاملات الحافة على معامل.
معنى قسمة كثيرات الحدود وكيف يظهر الخارج والباقي
هذه الوحدانية هي ما يجعل عقد API ممكنًا: مصفوفات المعاملات نفسها تنتج دائمًا الخارج والباقي نفسيهما، من دون تفرع على استدلال جبر حاسوبي.
عقد الإدخال وترتيب المعاملات والتحقق وشكل الاستجابة
أرسلوا جسم JSON يضم مصفوفتين إلزاميتين: dividend و divisor. مثال: أرسلوا dividend واحدًا وناقص ثلاثة واثنين و divisor واحدًا وناقص واحد لتقسيم مربع x ناقص ثلاثة x زائد اثنين على x ناقص واحد. تفشل المصفوفات الفارغة والحقول الناقصة وما ليس مصفوفة وInfinity وNaN بـ invalid_input مع تسمية الحقل. تُقبل أسماء بديلة اختيارية مثل num و numerator و p للمقسوم، و den و denominator و d و by للمقسوم عليه، حتى لا تحتاج قوالب الصف إلى إعادة كتابة.
أين تستحق واجهة قسمة كثيرات الحدود موضعها وما الذي لا تفعله
تختزل دفاتر الهندسة التعابير النسبية، وتحذف العوامل المشتركة بعد خطوة GCD منفصلة، أو تطبق مبرهنة الباقي بالقسمة أولًا على عامل خطي؛ واستدعاء API صغير للتحليل يغني عن سحب منظومة جبر حاسوبي كاملة من أجل زوج من المصفوفات الكثيفة. ولأن التنفيذ تحليل parse خالص من المستوى A، يكلف كل استدعاء ناجح السعر الأساسي المنشور $0.002 من دون رموز نموذج ومن دون شبكة صادرة.
أسئلة تقنية
كم تكلفة حاسبة قسمة كثيرات الحدود؟
أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مقدمًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ ولا تُفوتر المدخلات غير الصالحة.