حاسبة القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود
تحقق من القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود في ثوانٍ: قسمة x² − 3x + 2 على x − 1 تعطي الخارج x − 2 والباقي 0، أي أن x − 1 عامل. تُكتب المعاملات من أعلى درجة. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
تعمل هذه الأداة داخل متصفحك — مجانًا، ولا تُرسل بياناتك إلى أي خادم
تقسم حاسبة القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود هذه كثيرة حدود على أخرى وتُرجع الخارج والباقي كمصفوفات معاملات ونصوص كثيرات حدود مقروءة. القسمة المطوّلة على كثيرات الحدود هي خطوة خوارزمية إقليدس التي تُبنى عليها فحوص التحليل، وحالات القسمة التركيبية الخاصة، والكسور الجزئية، ومبرهنات الباقي: المقسوم يساوي المقسوم عليه مضروبًا في الخارج زائد الباقي، بحيث تكون درجة الباقي أصغر تمامًا من درجة المقسوم عليه (أو يكون الباقي صفرًا حين تكون القسمة تامة). من الفحوص السريعة المألوفة x² − 3x + 2 مقسومة على x − 1 تعطي خارجًا x − 2 وباقيًا صفرًا، وx³ − 1 مقسومة على x − 1 تعطي x² + x + 1. يعتمد المحرك على حساب عشري حتمي فقط على متجهات معاملات كثيفة: بلا اتصال بالشبكة ولا عيّنات عشوائية ولا اختصارات مرتبطة بالتاريخ.
ماذا تُرجع القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود وكيف تعمل الدرجات
تحل القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود المعادلة «المقسوم = المقسوم عليه × الخارج + الباقي» لكثيرات حدود مكتوبة كمصفوفات معاملات كثيفة تبدأ بأعلى درجة. فمثلًا المصفوفة [1, −3, 2] تعني x² − 3x + 2، والمصفوفة [1, −1] تعني x − 1. يعرض الرد المقسوم والمقسوم عليه بعد تطبيعهما بحذف الأصفار البادئة، ويُرجع الخارج والباقي كمصفوفات معاملات مُقرَّبة إلى الدقة المطلوبة، ويذكر درجات العناصر الأربعة كلها، ويضبط علمًا exact حين يكون الباقي كثيرة الحدود الصفرية، ويبني نصوصًا مقروءة مثل x^2 - 3x + 2 لعرضها في أوراق العمل والواجهات.
حين تكون درجة المقسوم أصغر تمامًا من درجة المقسوم عليه، يكون الخارج صفرًا ويساوي الباقي المقسوم نفسه، وهذه هي الحالة الأساسية الإقليدية الصحيحة لا خطأ. لا يوجد مسار جبري رمزي (CAS) ولا أخذ عيّنات عشوائي للجذور: فإما ينهي المحرك حلقة القسمة المطوّلة ضمن حدود الدرجة والمقدار المدعومة، أو يرفض الطلب.
أين تُستخدم القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود في الدراسة والبرمجة والتدريس
يلتقي الطلاب بالقسمة المطوّلة لكثيرات الحدود حين يُقدِّم كتاب مدرسي خوارزمية القسمة، أو حين يتحققون هل يقسم عامل خطي كثيرة حدود تكعيبية قبل تطبيق مبرهنة العامل، أو حين يتطلب إعداد كسور جزئية دالة نسبية حقيقية بدرجة باقٍ أصغر من المقام. يستطيع المعلمون توليد مفاتيح إجابات مسبقًا لدرجات معتدلة دون الاعتماد على تطبيقات حاسبة مبهمة تُخفي المعاملات الوسيطة أو تتحول بصمت إلى قسمة تركيبية دون إظهار كثيرة حدود الخارج كاملة.
يستدعي المطورون العقد نفسه من نصوصهم البرمجية لتوليد متجهات اختبار حتمية لوحدات الجبر الحاسوبي، أو لتطبيع تعبيرات نسبية مُدخَلة من المستخدم قبل مزيد من المعالجة، أو لتلبية متطلبات تحديات برمجية تطلب مصفوفتي خارج وباقٍ بدلًا من قائمة عوامل مرسومة تقريبيًا. غالبًا ما يحتاج التدريب على المسابقات مصدرًا سريعًا وغير متصل لنتائج القسمة المطوّلة حتى يمكن التحقق من الحلول دون آلات رسم بياني تحت ضغط الوقت.
اجمع بينها وبين أدوات إكمال المربع أو الأنظمة الخطية حين تحتاج خطوات جبرية ذات صلة، ومع نقاط نهاية رياضية أخرى حين تبني مختبرًا صغيرًا من أدوات جبرية مجانية وحتمية لواجب المدرسة واختبارات البرمجيات.
حالات الاستخدام
الواجب المدرسي والتحقّقات الإقليدية
اقسم كثيرات حدود مدرسية وتحقق من الخارج والباقي قبل تطبيق مبرهنة العامل أو مبرهنة الباقي.
بيانات اختبار حتمية
ولّد مصفوفات معاملات ونصوص كثيرات حدود قابلة لإعادة الإنتاج لاختبارات الوحدات وفحوص الخصائص وتأكيدات CI.
التدريس وواجهات الجبر الحاسوبي
طبّع المقسوم والمقسوم عليه المُدخَلين من المستخدم إلى خارج وباقٍ لمساعدات الخطوات والدروس التفاعلية.
الأسئلة الشائعة
كيف يُعرَّف الخارج والباقي؟
يحققان المقسوم = المقسوم عليه × الخارج + الباقي، بدرجة باقٍ أصغر من درجة المقسوم عليه، أو باقٍ صفر حين تكون القسمة تامة.
كيف أرمِّز كثيرات الحدود؟
مرِّر مصفوفات معاملات كثيفة من أعلى درجة أولًا، مثل [1, -3, 2] الذي يمثّل x² − 3x + 2، و[1, -1] الذي يمثّل x − 1.
ماذا لو كانت درجة المقسوم أصغر من درجة المقسوم عليه؟
يكون الخارج صفرًا ويساوي الباقي المقسوم نفسه. هذه هي الحالة الأساسية الإقليدية الصحيحة، لا خطأ.
كيف أعرف أن x − 1 عامل لكثيرة حدود؟
اقسم كثيرة الحدود على x − 1 وانظر إلى الباقي. في x² − 3x + 2 يكون الباقي 0، فالقسمة تامة وx − 1 عامل، والخارج x − 2 هو العامل الآخر.
ماذا يحدث إذا كان المقسوم عليه صفرًا؟
تُرفض القسمة، لأن القسمة على كثيرة الحدود الصفرية غير معرّفة كما أن القسمة على الصفر غير ممكنة. صحح المقسوم عليه ثم أعد المحاولة.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-divide \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-divide", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"dividend": [
1,
-3,
2
],
"divisor": [
1,
-1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-divide",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"dividend": [
1,
-3,
2
],
"divisor": [
1,
-1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-divide", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"dividend":[1,-3,2],"divisor":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-divide", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"dividend": [
1,
-3,
2
],
"divisor": [
1,
-1
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_divide",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_degree | 64 |
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
استخدمها مجانًا في المتصفح للواجب المدرسي والتحضير للمسابقات وتمارين البرمجة، أو استدعِ واجهة API بسعر $0.002 لكل طلب ناجح حين تحتاج بيانات قسمة مطوّلة ثابتة وقابلة لإعادة الإنتاج في اختبارات CI أو برمجيات التدريس أو العروض التعليمية.
ماذا تُرجع القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود وكيف تعمل الدرجات
درجة كثيرة الحدود غير الصفرية تساوي طول مصفوفة معاملاتها المُهذَّبة ناقص واحد؛ وتُصدَر كثيرة الحدود الصفرية بدرجة صفر ومعامل وحيد صفر حتى لا يضطر مستهلكو JSON إلى معاملة خاصة للمصفوفات الفارغة. يجب ألا يكون المقسوم عليه كثيرة الحدود الصفرية: فالقسمة عليها غير مُعرَّفة وتُرفَض برسالة invalid_input، اتساقًا مع قاعدة أنه لا يمكن القسمة على صفر. إن احتجت إلى الجذور فقط، أو التحليل إلى عوامل غير قابلة للاختزال، أو القسمة التركيبية للمقسوم عليه الأحادي الخطي كصفحة مستقلة، استخدم الأدوات المخصصة لذلك؛ هذه الصفحة تجيب عن معادلة القسمة المطوّلة الكاملة بمعاملات عددية ثابتة تناسب اختبارات الوحدات ومستهلكي API.
كيف تُقرأ المعاملات وكيف تبقى الخوارزمية قابلة لإعادة الإنتاج
تُقبَل معاملات نصية تُقرأ كأعداد عشرية منتهية، بما فيها الترميز العلمي الاختياري؛ أما المسافات المُضمَّنة وبادئات الست عشري والرموز غير الرقمية فتُرفض برسالة واضحة، حتى لا تتحول خانة خاطئة إلى خارج قسمة خاطئ. تُهذَّب معاملات الصفر البادئة قبل القسمة، بحيث تمثِّل [0, 1, 2] و[1, 2] كثيرة الحدود الخطية نفسها. تضرب الخوارزمية تكراريًا الحد الرئيسي الحالي للباقي العامل في مقلوب المعامل الرئيسي للمقسوم عليه، وتسجِّل ذلك الحد في الخارج، وتطرح الناتج المُحاذى من الباقي حتى تنخفض درجة الباقي دون درجة المقسوم عليه. تستخدم كل الخطوات حسابًا عشريًا عاديًا في جافاسكريبت مع إبسيلون صغير عند تهذيب حدود رئيسية قريبة من الصفر، فتُرجع أمثلة نسبية دقيقة بمعاملات صحيحة عادةً أعدادًا صحيحة نظيفة بعد التقريب. الحقلان المفضَّلان هما dividend وdivisor، كلٌّ منهما مصفوفة غير فارغة من أعداد منتهية من أعلى درجة حتى الحد الثابت. تُقبَل أسماء بديلة num وnumerator وp للمقسوم، وden وdenominator وd وby للمقسوم عليه، حتى تُعيد جداول البيانات وسلاسل الاستعلام والنماذج المكتوبة استخدام العقد نفسه. حقل الدقة precision الاختياري، وله اسما بديلان decimals وdp، يحدد عدد الخانات العشرية المعروضة لكل معامل في الرد، وقيمته الافتراضية عشرة والحد الأقصى خمسة عشر حفاظًا على ثبات ملفات JSON المرجعية عبر التشغيلات. اجمع بين التشغيل المجاني في المتصفح على هذه الصفحة وواجهة API المدفوعة حين تحتاج النتيجة الرياضية ذاتها داخل خط أنابيب آلي.
أين تُستخدم القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود في الدراسة والبرمجة والتدريس
تستخدم منتجات التعليم إعادة الصياغة هذه حين يكتب المتعلم قائمتي معاملات وتحتاج الواجهة إلى عرض dividend_poly وdivisor_poly وquotient_poly وremainder_poly معًا مع نص المعادلة الإقليدية. يعمل هذا كله داخل متصفحك مجانًا على هذه الصفحة؛ ومن خلال API يكلف كل استعلام ناجح $0.002، ولا يُحتسَب التحقق الفاشل، ولا يُحفَظ شيء بعد إرجاع الرد. هذا الفصل بين الاستكشاف التفاعلي المجاني وواجهة API المدفوعة المطابقة له يوافق بقية كتالوج KIT من الفئة A، ويتيح لك الانتقال من عرض توضيحي في الصف إلى خط أنابيب آلي دون تغيير النتيجة الرياضية.
أسئلة تقنية
كم تكلفة حاسبة القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود؟
هي مجانية في متصفحك على هذه الصفحة. أما عبر API فيكلف كل طلب ناجح $0.002؛ ولا تُحتسَب المدخلات غير الصالحة.
ماذا يحدث إن كان المقسوم عليه كثيرة الحدود الصفرية؟
يُرفَض المُدخَل برسالة invalid_input. القسمة على كثيرة الحدود الصفرية غير مُعرَّفة.