ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود

اعثر على العامل المشترك بين كثيرتي حدود: القاسم المشترك الأكبر لـ x² − 3x + 2 وx − 1 هو x − 1، ويُحسب في خطوة واحدة من خوارزمية إقليدس بمعامل رئيسي 1. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

تجد هذه الحاسبة القاسم المشترك الأكبر لكثيرتي حدود مُعطاتين كمصفوفتي معاملات كثيفتين تبدآن بأعلى درجة. تُشغِّل خوارزمية إقليدس الكلاسيكية: تستبدل الزوج بكثيرة الحدود الثانية وباقي قسمة الأولى على الثانية حتى يصبح الباقي صفرًا، ثم تُحجِّم آخر باقٍ غير صفري حتى يصبح معامله الرئيسي واحدًا (قاسم مشترك أكبر أحادي المعامل الرئيسي). تنحصر العوامل الخطية المشتركة، وفحوص القسمة التامة، واختبارات الأولية النسبية كلها في هذا الأصل الواحد. من الفحوص السريعة المألوفة x² − 3x + 2 وx − 1 يشتركان في العامل x − 1، وx² − 1 مع x − 1 تُعطي أيضًا x − 1. يعتمد المحرك على حساب عشري حتمي فقط على متجهات معاملات: بلا اتصال بالشبكة ولا عيّنات عشوائية ولا اختصارات مرتبطة بالتاريخ.

ماذا يُرجع القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود وكيف يعمل التطبيع الأحادي

القاسم المشترك الأكبر لكثيرتي حدود هو كثيرة حدود بأعلى درجة تقسم الاثنتين معًا، وهي فريدة حتى ثابت ضربي غير صفري فوق حقل المعاملات. تُرجع هذه الحاسبة تمثيلًا أحادي المعامل الرئيسي: بعد انتهاء حلقة إقليدس، يُقسَم كل معامل على المعامل الرئيسي حتى تبدأ الإجابة دائمًا بواحد حين يكون القاسم المشترك غير صفري. تستخدم المُدخَلات والمُخرَجات مصفوفات معاملات كثيفة تبدأ بأعلى درجة؛ فمثلًا [1, −3, 2] تعني x² − 3x + 2، و[1, −1] تعني x − 1.

يعرض الرد المُدخَلين المُطبَّعين بعد حذف الأصفار البادئة، ويُرجع مصفوفة gcd الأحادية مُقرَّبة إلى الدقة المطلوبة، ويذكر درجتي المُدخَلين ودرجة القاسم المشترك، ويضبط علمًا coprime حين يكون القاسم المشترك الأحادي هو الثابت واحد، ويبني نصوصًا مقروءة مثل x^2 - 3x + 2 لأوراق العمل والواجهات، ويسجِّل عدد خطوات الباقي التي نفَّذتها خوارزمية إقليدس. درجة كثيرة الحدود غير الصفرية تساوي طول مصفوفة معاملاتها المُهذَّبة ناقص واحد؛ وتُصدَر كثيرة الحدود الصفرية بدرجة صفر ومعامل وحيد صفر حتى لا تحتاج مصفوفات فارغة.

إن كان أحد المُدخَلين فقط صفرًا، تُرجَع الصورة الأحادية للآخر، اتساقًا مع العرف المعتاد بأن قاسم f وصفر مضاعف وحدة من f. لا يوجد مسار جبري رمزي (CAS) ولا أخذ عيّنات عشوائي للجذور: فإما ينهي المحرك اختزالات إقليدس ضمن حدود الدرجة والمقدار المدعومة، أو يرفض الطلب.

كيف تُقرأ المعاملات وكيف تبقى حلقة إقليدس قابلة لإعادة الإنتاج

الحقلان المفضَّلان هما a وb، كلٌّ منهما مصفوفة غير فارغة من أعداد منتهية من أعلى درجة حتى الحد الثابت. تُقبَل معاملات نصية تُقرأ كأعداد عشرية منتهية، بما فيها الترميز العلمي الاختياري؛ أما المسافات المُضمَّنة وبادئات الست عشري والرموز غير الرقمية فتُرفض برسالة واضحة، حتى لا تتحول خانة خاطئة إلى قاسم خاطئ. تُهذَّب معاملات الصفر البادئة قبل الاختزال، بحيث تمثِّل [0, 1, 2] و[1, 2] كثيرة الحدود الخطية نفسها.

تحسب كل خطوة إقليدسية باقي المقسوم الحالي على المقسوم عليه الحالي بقسمة مطوّلة لمتجهات المعاملات، ثم تتبادل: يصبح المقسوم عليه القديم هو المقسوم الجديد ويصبح الباقي هو المقسوم عليه الجديد، تمامًا كما في القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصحيحة. يهذِّب إبسيلون صغير الحدود الرئيسية القريبة من الصفر حتى لا يخترع الضجيج العشري بواقي وهمية بدرجة عالية. عند انتهاء الحلقة، يفرض التحجيم الأحادي أن يكون المعامل الرئيسي واحدًا، ما يجعل الملفات المرجعية والمخابئ مستقلة عن مضاعفات عددية اعتباطية يسمح بها الجبر.

أين يُستخدم القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود في الدراسة والبرمجة والتدريس

يلتقي الطلاب بالقاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود حين يُقدِّم كتاب مدرسي خوارزمية إقليدس فوق حلقة كثيرات الحدود، أو حين يحذفون عوامل مشتركة في تعبير نسبي، أو حين يتحققون هل تشترك تكعيبيتان في عامل خطي قبل تطبيق الكسور الجزئية. يستطيع المعلمون توليد مفاتيح إجابات مسبقًا لدرجات معتدلة دون الاعتماد على تطبيقات حاسبة مبهمة تُخفي البواقي الوسيطة أو تُعيد التحجيم بصمت بمحتوى غير أحادي.

يستدعي المطورون العقد نفسه من نصوصهم البرمجية لتوليد متجهات اختبار حتمية لوحدات الجبر الحاسوبي، أو لتبسيط نسب كثيرات حدود مُدخَلة من المستخدم، أو لتلبية متطلبات تحديات برمجية تطلب مصفوفة قاسم مشترك أحادية بدلًا من قائمة عوامل مرسومة تقريبيًا. غالبًا ما يحتاج التدريب على المسابقات مصدرًا سريعًا وغير متصل لنتائج القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود حتى يمكن التحقق من الحلول دون آلات رسم بياني تحت ضغط الوقت.

اجمع بينها وبين القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود حين تحتاج الخارج والباقي معًا، ومع أدوات الأولية النسبية للأعداد الصحيحة حين تكون الكائنات أعدادًا لا كثيرات حدود، ومع نقاط نهاية جبرية أخرى حين تبني مختبرًا صغيرًا من أدوات مجانية وحتمية لواجب المدرسة واختبارات البرمجيات.

حالات الاستخدام

الواجب المدرسي وتحقّقات العوامل المشتركة

أوجد قواسم مشتركة أكبر أحادية لكثيرات حدود مدرسية في تمارين خوارزمية إقليدس، واحذف عوامل مشتركة في تعبيرات نسبية.

بيانات اختبار حتمية

ولّد مصفوفات قاسم مشترك أحادية ونصوص كثيرات حدود قابلة لإعادة الإنتاج لاختبارات الوحدات وفحوص الخصائص وتأكيدات CI.

التدريس وواجهات الجبر الحاسوبي

طبّع كثيرتي حدود يُدخلهما المستخدم إلى قاسم مشترك أحادي مع الدرجات وعلم coprime ونصوص مقروءة للدروس.

الأسئلة الشائعة

كيف يُعرَّف القاسم المشترك الأكبر؟

هو كثيرة حدود أحادية بأعلى درجة تقسم كلا المُدخَلين، وتُحصَل عليها بخوارزمية إقليدس (باقي متكرر لكثيرات الحدود) وتطبيع المعامل الرئيسي.

ماذا يحدث إن كانت كلتا كثيرتي الحدود صفرًا؟

القاسم المشترك الأكبر لصفر وصفر غير مُعرَّف في هذا العقد.

كيف أرمِّز كثيرات الحدود؟

مرِّر مصفوفات معاملات كثيفة من أعلى درجة أولًا، مثل [1, -3, 2] الذي يمثّل x² − 3x + 2، و[1, -1] الذي يمثّل x − 1.

ماذا يعني علم coprime؟

حين يكون القاسم المشترك الأحادي هو الثابت 1، لا تشترك كثيرتا الحدود في أي عامل جذر بدرجة موجبة، ويكون coprime صحيحًا (true).

ماذا يحدث إذا كانت إحدى كثيرتي الحدود صفرًا؟

تحصل على كثيرة الحدود الأخرى بعد قسمتها على معاملها الرئيسي ليصبح 1، لأن كل كثيرة حدود تقسم الصفر. ويطابق ذلك الاصطلاح المعتاد في كتب الجبر.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": [
      1,
      -3,
      2
    ],
    "b": [
      1,
      -1
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": [
        1,
        -3,
        2
    ],
    "b": [
        1,
        -1
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-gcd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "a": [
    1,
    -3,
    2
  ],
  "b": [
    1,
    -1
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.polynomial_gcd",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

`max_degree`	64
`max_abs_coeff`	1000000000000000

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

استخدمها مجانًا في المتصفح للواجب المدرسي والتحضير للمسابقات وتمارين البرمجة، أو استدعِ واجهة API بسعر $0.002 لكل طلب ناجح حين تحتاج بيانات قاسم مشترك أكبر لكثيرات حدود ثابتة وقابلة لإعادة الإنتاج في اختبارات CI أو برمجيات التدريس أو العروض التعليمية.

ماذا يُرجع القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود وكيف يعمل التطبيع الأحادي

يُرفَض كون المُدخَلين صفرًا معًا برسالة invalid_input لأن القاسم المشترك الأكبر لصفر وصفر غير مُعرَّف في هذا العقد. إن احتجت إلى القسمة المطوّلة الكاملة بخارج وباقٍ ظاهرين، أو التحليل إلى عوامل غير قابلة للاختزال، أو القاسم المشترك الأكبر لأعداد صحيحة بدلًا من كثيرات حدود، استخدم الأدوات المخصصة لذلك؛ هذه الصفحة تجيب فقط عن القاسم المشترك الأكبر الأحادي عبر بواقي إقليدس بمعاملات عددية ثابتة تناسب اختبارات الوحدات ومستهلكي API.

كيف تُقرأ المعاملات وكيف تبقى حلقة إقليدس قابلة لإعادة الإنتاج

تُقبَل أسماء بديلة p وpoly1 وf وfirst لكثيرة الحدود الأولى، وq وpoly2 وg وsecond للثانية، حتى تُعيد جداول البيانات وسلاسل الاستعلام والنماذج المكتوبة استخدام العقد نفسه. حقل الدقة precision الاختياري، وله اسما بديلان decimals وdp، يحدد عدد الخانات العشرية المعروضة لكل معامل في الرد، وقيمته الافتراضية عشرة والحد الأقصى خمسة عشر حفاظًا على ثبات ملفات JSON المرجعية عبر التشغيلات. اجمع بين التشغيل المجاني في المتصفح على هذه الصفحة وواجهة API المدفوعة حين تحتاج النتيجة الرياضية ذاتها داخل خط أنابيب آلي.

أين يُستخدم القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود في الدراسة والبرمجة والتدريس

تستخدم منتجات التعليم إعادة الصياغة هذه حين يكتب المتعلم قائمتي معاملات وتحتاج الواجهة إلى عرض a_poly وb_poly وgcd_poly معًا مع علم coprime وعدد خطوات إقليدس. يعمل هذا كله داخل متصفحك مجانًا على هذه الصفحة؛ ومن خلال API يكلف كل استعلام ناجح $0.002، ولا يُحتسَب التحقق الفاشل، ولا يُحفَظ شيء بعد إرجاع الرد. هذا الفصل بين الاستكشاف التفاعلي المجاني وواجهة API المدفوعة المطابقة له يوافق بقية كتالوج KIT من الفئة A، ويتيح لك الانتقال من عرض توضيحي في الصف إلى خط أنابيب آلي دون تغيير النتيجة الرياضية.

أسئلة تقنية

كم تكلفة حاسبة القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود؟

هي مجانية في متصفحك على هذه الصفحة. أما عبر API فيكلف كل طلب ناجح $0.002؛ ولا تُحتسَب المدخلات غير الصالحة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

ماذا يُرجع القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود وكيف يعمل التطبيع الأحادي

كيف تُقرأ المعاملات وكيف تبقى حلقة إقليدس قابلة لإعادة الإنتاج

أين يُستخدم القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود في الدراسة والبرمجة والتدريس

حالات الاستخدام

الواجب المدرسي وتحقّقات العوامل المشتركة

بيانات اختبار حتمية

التدريس وواجهات الجبر الحاسوبي

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الحدود

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ماذا يُرجع القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود وكيف يعمل التطبيع الأحادي

كيف تُقرأ المعاملات وكيف تبقى حلقة إقليدس قابلة لإعادة الإنتاج

أين يُستخدم القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود في الدراسة والبرمجة والتدريس

أسئلة تقنية

شكرًا