حاسبة إكمال المربع
يصبح x² + 6x + 5 على الصورة (x + 3)² − 4 ورأسه (−3, −4): أدخل المعاملات الثلاثة لتحصل على صيغة الرأس ونقطة التحول ومحور التماثل للقطع المكافئ. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A
- 1
- B
- 6
- C
- 5
- H
- -3
- K
- -4
- الرأس
- -3, -4
- صيغة الرأس
- (x + 3)^2 - 4
تعيد حاسبة إكمال المربع هذه صياغة كثيرة الحدود التربيعية ax² + bx + c بصورة الرأس a(x − h)² + k، وتُرجع إحداثيي الرأس h وk. إكمال المربع هو الجسر الجبري الكلاسيكي بين الصيغة القياسية وهندسة القطع المكافئ: يقع محور التماثل عند x = h، وتكون القيمة الصغرى أو الكبرى هي k بحسب إشارة a. الصيغتان المستخدمتان هنا حتميتان تمامًا: h = −b/(2a)، وk = c − b²/(4a). يعتمد المحرك على حساب منتهٍ فقط، بلا اتصال بالشبكة ولا عيّنات عشوائية ولا اختصارات مرتبطة بالتاريخ.
ماذا يعني إكمال المربع وما الذي يحتويه الرد
إكمال المربع يعيد كتابة ax² + bx + c بحيث تنحصر حدود x داخل مربع كامل، فينتج a×(x − h)² + k. هذه الصيغة تُظهر نقطة انعطاف القطع المكافئ بوضوح: الرأس هو النقطة (h, k)، ومحور التماثل هو الخط الرأسي x = h، ويفتح المنحنى إلى أعلى حين تكون a موجبة وإلى أسفل حين تكون سالبة. جبريًا، تُقسم المساهمة الخطية على ضعف المعامل الرئيسي لتحديد h، ثم يُحسب التعديل الثابت k = c − b²/(4a)، وهو بالضبط قيمة الدالة عند x = h.
من حالات الرفض غياب a أو b أو c، أو قيم غير منتهية، أو مقادير تتجاوز السقف الموثَّق، وأي قيمة a تساوي صفرًا أو تقترب منه عدديًا، لأن التعبير الخطي أو الثابت ليس تربيعيًا وليست له صيغة رأس فريدة من هذا النوع.
أين تُستخدم صيغة الرأس في الدراسة والرسم البياني والبرمجيات
يلتقي الطلاب بإكمال المربع حين ينتقل الكتاب المدرسي من التعابير التربيعية الموسَّعة إلى الرسم البياني، أو حين تطلب مسألة في مسابقة القيمة الصغرى لتعبير تربيعي دون تفاضل وتكامل، أو حين يحوِّلون بين الصيغة القياسية وصيغة الرأس قبل تطبيق التحويلات الهندسية. يستطيع المعلمون توليد مفاتيح إجابات مسبقًا لمعاملات معتدلة دون الاعتماد على تطبيقات حاسبة مبهمة تُغيِّر الترميز بصمت أو تُسقِط إشارة h.
يستدعي المطورون العقد نفسه من نصوصهم البرمجية لتوليد متجهات اختبار حتمية لمحركات رسم القطع المكافئ، أو لتطبيع كثيرات الحدود المُدخَلة من المستخدم قبل عروض التحسين، أو لتلبية متطلبات تحديات برمجية تطلب h وk بدلًا من رسم تقريبي باليد. غالبًا ما يحتاج التدريب على المسابقات مصدرًا سريعًا وغير متصل لإحداثيات الرأس حتى يمكن التحقق من الحلول دون آلات رسم بياني تحت ضغط الوقت. تستخدم أدوات المنتجات والتعليم إعادة الصياغة هذه حين يكتب المتعلم ax² + bx + c وتحتاج الواجهة إلى عرض الرأس وتعبير a(x − h)² + k نظيف.
اجمع بينها وبين أدوات جذور المعادلات التربيعية أو الأنظمة الخطية حين تحتاج خطوات جبرية ذات صلة، ومع نقاط نهاية رياضية أخرى حين تبني مختبرًا صغيرًا من أدوات جبرية مجانية وحتمية.
حالات الاستخدام
الواجب المدرسي والتحقق من الرأس
أعد صياغة التعبيرات التربيعية المدرسية إلى a(x − h)² + k وتحقق من h وk قبل الرسم البياني أو إيجاد القيمة الصغرى/الكبرى.
برمجيات الرسم البياني والتدريس
طبّع تعبيرات ax² + bx + c التي يُدخلها المستخدم إلى صيغة الرأس لأدوات الرسم البياني ومساعدات الخطوات والدروس التفاعلية.
الأسئلة الشائعة
كيف تُعرَّف h وk؟
لتعبير ax² + bx + c حيث a ≠ 0، فإن h = −b/(2a) وk = c − b²/(4a). وصيغة الرأس هي a(x − h)² + k.
هل تجد هذه الأداة جذور التعبير التربيعي؟
لا. فهي تكتفي بإعادة صياغة كثيرة الحدود إلى صيغة الرأس وإرجاع h وk. استخدم أداة حل الجذور إن احتجت الأصفار.
لماذا تُقرَّب النتائج إلى دقة معينة؟
الدقة الافتراضية عشر خانات عشرية، ويمكنك ضبطها بين 0 و15.
هل k القيمة الصغرى أم العظمى؟
يعتمد ذلك على إشارة a. إذا كان a موجبًا انفتح القطع المكافئ إلى الأعلى وكانت k قيمته الصغرى، وإذا كان سالبًا انفتح إلى الأسفل وكانت k قيمته العظمى عند x تساوي h.
ماذا يحدث إذا كان a صفرًا؟
لا يبقى التعبير تربيعيًا ولا يوجد مربع لإكماله، لذلك ترفض الحاسبة الإدخال. أدخل معاملًا a لا يساوي الصفر، موجبًا كان أو سالبًا.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":6,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 6,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 6,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":6,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":6,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/complete-the-square", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a": 1,
"b": 6,
"c": 5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.complete_the_square",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_abs_coeff | 1000000000000000 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
من الأمثلة السريعة المألوفة a=1 وb=6 وc=5 فتُعطي h=−3 وk=−4، وa=2 وb=−8 وc=3 فتُعطي h=2 وk=−5. استخدمها مجانًا في المتصفح للواجب المدرسي والتحضير للرسم البياني ومسابقات الرياضيات، أو استدعِ واجهة API بسعر $0.002 لكل طلب ناجح حين تحتاج بيانات رأس ثابتة وقابلة لإعادة الإنتاج في اختبارات CI أو برمجيات التدريس أو العروض التعليمية.
ماذا يعني إكمال المربع وما الذي يحتويه الرد
تُرجع هذه الحاسبة المعاملات المُطبَّعة a وb وc، وقيمتي h وk مُقرَّبتين إلى الدقة المطلوبة، ومصفوفة رأس من عنصرين، ونصًا مقروءًا vertex_form مثل (x + 3)^2 - 4، وصدى standard_form لكثيرة الحدود المُدخَلة، وعلامة الطريقة complete_the_square، والدقة المستخدمة، وتذكيرًا موجزًا بالصيغة. لا يوجد مسار جبري رمزي تقريبي (CAS) ولا أخذ عيّنات عشوائي للجذور: فإما يبني المحرك قيمتي h وk بدقة عشرية تامة ضمن نطاق المعاملات المدعوم، أو يرفض الطلب برسالة invalid_input. إن احتجت إلى الجذور أو التحليل إلى عوامل أو رسم بياني كامل، استخدم الأدوات المخصصة لذلك؛ هذه الصفحة تجيب فقط عن إعادة الصياغة بإكمال المربع بمخرجات عددية ثابتة تناسب أوراق العمل واختبارات الوحدات ومستهلكي API الذين لا يريدون خطوات رمزية مُخترَعة.
كيف تُقرأ a وb وc وكيف تبقى h وk قابلتين لإعادة الإنتاج
تُقبَل إشارات الجمع البادئة الاختيارية والترميز العلمي في نصوص المعاملات ما دامت تُقرأ كأعداد عشرية منتهية؛ أما المسافات المُضمَّنة وبادئات الست عشري والرموز غير الرقمية فتُرفض برسالة واضحة، حتى لا تتحول خانة خاطئة إلى رأس خاطئ. الصفر مقبول قيمةً لكل من b أو c، وينتج عنه رأس أبسط أو إزاحة رأسية بحتة. الحقول المفضَّلة هي a للمعامل الرئيسي، وb للمعامل الخطي، وc للحد الثابت، لكن يُقبَل أيضًا A وleading بديلًا عن a، وB وlinear بديلًا عن b، وC وconstant بديلًا عن c، حتى تُعيد جداول البيانات وسلاسل الاستعلام والنماذج المكتوبة استخدام العقد نفسه. يجب ألا يساوي المعامل الرئيسي a صفرًا: إذا كانت القيمة المطلقة لمعامل a عند حد صغير جدًا (إبسيلون) أو أقل منه، يفشل الطلب برسالة invalid_input لأن التعبير ليس تربيعيًا. حقل الدقة precision الاختياري، وله اسما بديلان decimals وdp، يحدد عدد الخانات العشرية المعروضة لكل من a وb وc وh وk، وقيمته الافتراضية عشرة والحد الأقصى خمسة عشر حفاظًا على ثبات ملفات JSON المرجعية. اجمع بين التشغيل المجاني في المتصفح على هذه الصفحة وواجهة API المدفوعة حين تحتاج النتيجة الرياضية ذاتها داخل خط أنابيب آلي دون إعادة تنفيذ صيغ الرأس بنفسك.
أين تُستخدم صيغة الرأس في الدراسة والرسم البياني والبرمجيات
يعمل هذا كله داخل متصفحك مجانًا على هذه الصفحة؛ ومن خلال API يكلف كل استعلام ناجح $0.002، ولا يُحتسَب التحقق الفاشل، ولا يُحفَظ شيء بعد إرجاع الرد. هذا الفصل بين الاستكشاف التفاعلي المجاني وواجهة API المدفوعة المطابقة له يوافق بقية كتالوج KIT من الفئة A، ويتيح لك الانتقال من عرض توضيحي في الصف إلى خط أنابيب آلي دون تغيير النتيجة الرياضية.
حالات التكامل
بيانات اختبار حتمية
ولّد قيم h وk ونصوص vertex_form قابلة لإعادة الإنتاج لاختبارات الوحدات وفحوص الخصائص وتأكيدات CI.
أسئلة تقنية
كم تكلفة حاسبة إكمال المربع؟
هي مجانية في متصفحك على هذه الصفحة. أما عبر API فيكلف كل طلب ناجح $0.002؛ ولا تُحتسَب المدخلات غير الصالحة.
ماذا يحدث إن كانت a تساوي صفرًا؟
يُرفَض المُدخَل برسالة invalid_input. فحين تكون a = 0 يصبح التعبير خطيًا أو ثابتًا، لا تعبيرًا تربيعيًا له صيغة رأس فريدة من هذا النوع.